MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOL. LXV, N. 14. 33 



Sotto forma generica: un antimotor la cui isomeria corrispondente non sia uno speccìiia- 

 mento vettoriale, è sempre il prodotto, commutabile, di una rotazione (esclusa l'identità) intorno 

 all'asse a^'antimotor, per uno spccchiamento rispetto ad un piano normale a tale asse. 



Chiameremo antirotazioni i moti geometrici ora considerati (*). 



Dim. — Dalle (54) si ha 



P+\P= A + B + (P— A) + a{P- A), 



e poiché a è un aRotor si avrà (perchè om = — u) 



u X (P— A) = — uXa (P — A) 

 e quindi 



| 2 2 \ X U — U 



che per la (55) dà subito 



la quale esprime che: il punto medio tra due punti qualsiasi corrispondenti rispetto a X, sta 

 nel piano condotto per normalmente all'asse di X, cioè nel piano 0\w. 



Ponendo, nella (a), al posto di Pe ricordando che XO = -\-xu si ha subito x = cioè 



\0—0 



vale a dire: il punto corrisponde a sé stesso rispetto al moto X. 

 Dalla identità P=0-\-(P — 0) si ha dunque 



(b) XP=0 + ct(P— 0). 



Se ora poniamo 



M = (q, Rotor (qp, u)J , v = (o ' s P ec I M ) 

 e ricordiamo che 



a = aRotor (cp, u) = spec | u . Rotor (qp, u) = Rotor(qp, u) . spec | u 



abbiamo subito 



vuP=uvP = + a(P— O) 



che, per la (è), dimostra la (60). 



b) Se M è il punto medio tra A e B, 



(61') M = * 



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 e iv è il vettore componente normale di B — A rispetto ad u, 



(61") w = B — A — uX(B — A).u=)l — H(u, u)[{B — A), 



allora si ha identicamente 



( 61 ) \=(*,spec|w)=( 3f + M ', ijfir s Pec 1 **-) 



= £*-!«) ("IM; 



(*) Per a = — 1 si ha, come è noto, Vequinversione rispetto al punto {A -\- B)/2 che coincide con 0. In 

 tal caso Tasse, uscente da 0, è arbitrario, la rotazione è una simmetria assiale (anga = ir) e il piano di spec- 

 chiamene passa per il punto ed è normale all'asse scelto. 



