34- C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Sotto forma generica: un antimotor la cui isomeria corrispondente sia uno specchiamene 

 vettoriale, è sempre il prodotto, commutabile, di uno specchiamento, per una traslazione {non 

 esclusa l'identità) parallela al piano di specchiamento. 



Chiameremo antitraslazioni i moti geometrici ora considerati (*). 

 Dim. — Sia P un punto arbitrario del piano M\u, cioè si abbia (P — M) X 11 = 0. 

 Ricordando che 



2M= A + B, cioè 2 {M—A) = B — A 

 si ha dalle (54) 



\P— P=B — ^ + spec|rt.(P — A) — (P — A) 

 = B — A — 2uX {P— A) . u 

 = B — A — 2tiX) {P— M) — {A — M)\.u 

 = B — A — uX{B — A).u = tv, 



e quindi: il moto X è, per i punti del piano M\n, la traslazione individuata dal vettore w. 

 Dalla identità P=M-\-{P — M), per P punto arbitrario, si ha dunque 



{a) \P=ilf-H# + spec|w.(P— M). 



Se ora poniamo 



M = UrS P ecw), v = ( M ' !) 



e osserviamo che, essendo w normale ad u, 



(spec | u) w = w 

 si ha subito 



vuP= uvP— M + spec|w . (P— M) + w 



che, per la (a), dimostra la (61). 



Osservazione l a . — Da a) e b) risulta che: un antimotor, o è ww'antirotazione, o una 



ANTITRASL AZIONE . 



Osservazione 2\ — La riduzione, ora compiuta, di un motor o antimotor a prodotto di due 

 moti più semplici permette di determinare facilmente i punti, rette e piani uniti rispetto al 



moto X = ( , cu, cioè tali che X« — u, ove u è, in generale, una figura geometrica (classe. 



di punti). Basta per ciò tener conto delle direzioni unite dell'isomeria vettoriale a, già deter- 

 minate nell'Osserv. 2 a del n. 5, e dei teoremi seguenti: 



Affinchè la retta r sia unita rispetto a X è necessario che la sua direzione sia unita rispetto 

 all'isomeria a. 



Affinchè il piano p sia unito rispetto a X è necessario che la sua giacitura sia normale ad 

 una direzione unita rispetto all'isomeria a. 



Il primo teorema risulta subito dal fatto che X trasforma vettori in vettori. 



Sia a vettore non nullo normale al piano p e X vettore arbitrario parallelo a p. Affinchè 

 p sia unito rispetto a X è necessario che ax sia pure parallelo a p, cioè che a X ax = 0, 

 ovvero x X Kcta = 0. Ma si ha pure x X « = e quindi a /\ Kaa è o nullo o parallelo 

 ad x ; e poiché x ha direzione arbitraria normale ad a si avrà a /\ Kaa = 0, ovvero 

 Kaa = ± a o anche aa = ± a, il che prova il secondo teorema. 



(*) Se la traslazione, individuata da iv, è V identità, cioè w = 0, o anche B — A è parallelo ad il, allora X 

 è uno specchiamento ed è solo in tal caso (cfr. n. 16, b) che ^ ammette infiniti assi, mentre per tv #= non 

 ammette assi. 



