MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. LXV, N. 14. 



VI. — Composizione dei moti geometrici. 



21. Consideriamo i due moti geometrici generici' 



(62') X = 6> a )' ^ = (c' P ) 



ove A, B, C, D sono punti e n,p isomerie vettoriali. 



Dalla solita identità P=A-{-(P — A) e dalle (62') si trae subito 



XP = P + a(P — A), uXP=uP-fPct(P — A), 



e poiché \i\A = uP si ha 



(62) uX = (^, pa). 



Dunque le formule date nei §§ III, V permettono di ridurre, in ogni caso, il moto geo- 

 metrico uX, prodotto funzionale di X per u, al prodotto (cfr. § V) di due dei moti seguenti 

 traslazione, rotazione, specchiamelo. 



Si potrebbero scrivere numerose formule per i casi generali e particolari; per questi, 

 alcune semplici, per quelli in generale molto complesse. Ma crediamo del tutto inutile scri- 

 vere tali formule visto che dalla (62) e da quelle dei §§ III, V possono esser dedotte in ogni 

 caso particolare nel quale occorra conoscere la riduzione a forma semplice (§ V) di uX. 



Esamineremo piuttosto alcuni casi particolari di grande interesse pratico, specialmente 

 per i motor. 



22. Tra i moti geometrici alcuni hanno bisogno del verso, dato sempre da un vettore 

 o da un bivettore, altri no; per tutti occorre la grandezza del moto. 



Una traslazione è individuata da un vettore e quindi richiede i tre elementi grandezza, 

 direzione e verso. 



Per una rotazione di <p rad , con cp non multiplo di n, occorre l'asse e il verso della ro- 

 tazione, che si determina fissando un verso dell'asse stesso (col vettore u). Invece per q> mul- 

 tiplo di rc non è necessario il verso: non nel caso <p multiplo di 2tt, nel quale si ha l'iden- 

 tità; non nel caso <p multiplo dispari di n, nel quale si ha la simmetria (assiale). 



Giova stabilire esattamente che una simmetria (assiale) è individuata dandone l'asse 

 (che è una retta la quale ha una sola direzione ma due versi). 



Lo stesso avviene per uno specchiamento, che è individuato dandone il piano di spec- 

 chiamento. 



Dimostreremo nei numeri seguenti che il prodotto di due simmetrie è un motor e di due 

 specchiamenti una rotazione; da ciò risulta che qualsiasi moto geometrico può ottenersi come 

 prodotto di due o più dei moti particolari traslazione, simmetria, specchiamento. 



2 3. Siano a, b due rette, A, B i punti nei quali esse sono incontrati dalla perpendicolare 

 comune ad esse (o da una qualunque di tali perpendicolari se a, b sono parallele) e uno degli 

 angoli convessi formati da a e b sia di <p rad . 



Se X, u sono le simmetrie aventi a, b per assi, allora uX è il moto elicoidale {motor gene- 

 rico) prodotto della traslazione individuata dal vettore 2 (B — A), e della rotazione di 2 cp rad 



