36 C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



intorno (dia retta AB fatta nel senso nel quale deve ruotare a di cp rad intorno ad AB per dive- 

 nire parallela alla retta b. 



Dim. — Se u, v sono vettori non nulli paralleli alle rette a, b, e di verso tale che 



qp = ang («e, v) , 

 allora si ha 



x = (j. symwj , u — (y B , sym vj . 



Essendo B — A normale a v si ha 



u (B — A) = A — B 

 e quindi dalla (62) si ha 



uX = ^- + IB — A \ sym v . synrM j 



che per la (18) o (43) dimostra il teorema. 



Osservazione l a . — Sussiste il teorema (inverso) : ogni motor è. in infiniti modi, il pro- 

 dotto di due simmetrie. 



Se il moto è individuato (n. 19) dalla F 2 



s = qp . Ou -f- m \u , con u 2 = 1 , 



allora, fissati sulla retta Ou due punti A, B in modo che 



e fatte passare per essi due l'ette a, b normali ad u, in modo che a debba ruotare di -=■ 



intorno ad Ou, nel senso di j u, per divenire parallela alla retta b, le simmetrie di assi a, b 

 hanno per prodotto il motor individuato da s. 



Osservazione 2 a . — Si deduce di qui il modo di comporre graficamente due motor X, u. 



Siano a, b le rette assi di X e u. Si costruisca una retta (o la retta) e normale comune 

 di a e è. Indicando con Sym?- la simmetria che ha per asse la retta r, si costruiscano le 

 rette a', V in modo che 



X = Sym e . Sym a', n = Sym è' . Sym e, 



il che, per l'Osserv. l a , è possibile. Osservando allora che (Symc) 2 = l si ha 



jiX = Sym b' . Sym e' 



e il motor \i\ è ridotto al prodotto di due simmetrie. 



Applicando più volte tale procedimento si può trovare il prodotto di tre o più motor. 

 che è sempre un motor (*). 



(*) È ovvio, come risulta dalla (62), che il prodotto di due motor o di due antimotor è sempre un motor. 

 mentre il prodotto di un motor per un antimotor, o viceversa, è sempre un antimotor. 



X = l , Rotor (<p, u) J , fi = ( B , Rotor (v, u)j , 



Se X = ( ., Rotor (<p, u) ) , fi = ( , Rotor (v,«)l , con u X B — A = 0, 



allora la costruzione grafica generale di |i\ conduce alla rotazione di (<p + v)" 3 intorno ad una retta paral- 

 lela ad u, o ad una traslazione (per <p -f- V multiplo di 2it) e si ha la composizione delle rotazioni in un piano. 

 Per" queste vale un teorema analogo, per il triangolo piano, a quello dato nel n. 10 per il triangolo sferico ; 

 sussiste pure teorema analogo a quello del n. 11, ma deve essere qj -|- «p -J- 6 = ti e per <p -\- tp = t il pro- 

 dotto delle due rotazioni è una traslazione. 



