MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, J1ATEM. E NATUR., SERIE II, VOI,. LXV, N. 14. 37 



24. Siano a, (3 due piatti, uno degli angoli da essi formati sia di cp"" 5 , e siano X, u gli 

 specchiamenti rispetto ad a e f3. 



Se a, p non sono paralleli allora u\ è la rotazione di 2cp rad intorno alla retta r comune 

 ai due piani nel senso nel quale dece ruotare a di <p rad intorno ad r per ribaltarsi nel piano (3. 



Se a, (3 sono paralleli, allora u\ è la traslazione doppia di quella che si deve dare ad a per 

 ribaltarlo nel piatto (3. 



Dim. — Se u, v sono vettori non nulli normali ad a, (3, e di verso tale che 



cp = ang (u, v) 

 allora si ha 



(a) \ = (j,spec|w), u = ^,spec[vj 



ove A è un punto, arbitrario, di a e B un punto di (3. 



Se a, (3 non sono paralleli, allora per qualsiasi punto P di r si ha \P= P, uP= P e 

 quindi u\P= P. Sì può dunque prendere B = A sulla retta r e dalle (a) si ha 



u\ = ( , spec | v . spec | u 



che per la (43) dimostra la prima parte del teorema, poiché la retta r è parallela al vet- 

 tore ti A v. 



Se a, (3 sono paralleli, allora nelle (a) si può porre v—±u e P — A parallelo ad u; 

 quindi, osservando che, in tali ipotesi, 



HA = B + spec |te . {A — B) = B — {A — B) = A + 2 (P — A), 



dalle (a) si ha subito 



A = ( A + ^- A \l) 



che dimostra la seconda parte del teorema. 



