3 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 105 



Ora, supponendo data la funzione Y, che soddisfa all'equazione A 2 = 0, vogliamo 

 determinare la funzione cp in modo che soddisfi alle due equazioni: 



<Mp + r-£ = Y (2) 



A 2 cp = 0. 



Si suppone che la funzione ¥ sia uniforme in tutto lo spazio a cui limitiamo 

 le nostre considerazioni, ossia nella sfera di raggio R, col centro nell'origine delle 

 coordinate. E tale si richiede che sia pure la funzione cp. 



Si dimostra che, se la costante e è positiva, esiste una sola funzione cp che 

 soddisfi a queste condizioni. 



Per provare che non ne può esistere più d'una, basterà provare che una fun- 

 zione cp l; uniforme, entro quella sfera, che debba soddisfare alle due equazioni : 



0^ + ^ = 0, 



A 2 cp, = , 



è nulla in tutti i punti della sfera. 



Indicando con S lo spazio racchiuso dalla superficie sferica di raggio R, con o" 

 questa superficie, con n la normale diretta verso l'interno, si ha la nota formula : 



Ma la formula (2) per i punti di o" ci dà: 



ccp,-R<^=0, 



ossìa: 



ò<Pi e 



Sarà dunque, sostituendo nella formula (3): 



Ma, essendo e positiva, questa uguaglianza non può sussistere, a meno che 

 ambedue i membri non sieno identicamente nulli. Dovrà dunque essere in tutta 

 la sfera: 



d<Pi _ a d<Pi n òtpi _ n 



òx — v > by — U ' ~~dT — U ' 



Seme II. Tom. XLVII. n 



