106 EMILIO ALMANSI 4 



ossia : 



cp t = cosi . ; 

 e alla superficie: 



<Pi = 0. 



Dunque cp L dovrà esser nulla in tutti i punti della sfera. 



Allo stesso resultato si arriva costruendo l'integrale generale dell'equazione (2). 

 Esso è infatti: 



k(m) i 1 f c-i\i/j 



in cui la funzione k delle variabili s, t, è arbitraria. Ma la funzione cp non deve 

 diventare infinita in nessun punto della sfera. Ora il termine: 



\ f r'- ìx Vdr, 



se, come supponiamo, la funzione Y in S è uniforme, si mantiene finito in tutti i 

 punti di S, compreso il centro, ove esso assume il valore — -, indicando con ¥„ il 



valore che prende in quel punto la funzione V. Invece il termine — — , poiché la co- 

 stante e è positiva, diverrà infinito nel centro della sfera. Affinchè ciò non avvenga 

 è necessario che per r = 0, k si annulli. Ma k è indipendente da r. Essa dunque 

 dovrà esser nulla in tutti i punti di S. Resterà per conseguenza: 



V=-kflr°-iVdr, (4) 



e questa è la sola funzione uniforme in S, che soddisfi all'equazione (2). 



Questa dimostrazione vale evidentemente qualunque sia la superficie che limita 

 lo spazio S, purché in esso si trovi l'origine delle coordinate. 



Si tratta ora di vedere se la funzione trovata soddisfa l'equazione A 2 = 0. 



Dalla formula (2), derivando rispetto ad x, si ottiene: 



òcp _j_ ac d<p _i_ d ò<p òV 



bx r br ' bx br bx 



Confrontando questa formula, colla identità: 



d è<p ò ò<p 1 ò<p i a; dep 



òr òx bx br f bx ' r 2 br ' 



si ricava: 



lc ^ L > bx ^ r br bx ~ bx 



