5 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 107 



Si avrà dunque, con una formula analoga alla (4): 



^^J^f/fdr. (5) 



dx r c + 1 J o dx 



Ripetendo lo stesso ragionamento, troveremo : 



^ = -^Cr'»^dr, (6) 



ox 1 r c + 2 J o ox~ ' 



ed espressioni analoghe per -y^- , -rjp. Per_ conseguenza, sommando, otterremo : 



A> = ^j'V+ 1 A 2 Yc*r; (7) 



e finalmente, poiché, per ipotesi, A 2 Y = 0, sarà anche: 



A 2 cp = 0. (8) 



Abbiamo così dimostrato che quando la costante e è positiva, le due equazioni: 



A 2 q> = 0, 



ove H 1 rappresenta una funzione che soddisfa all'equazione A 2 = 0, ed è uniforme 

 nello spazio racchiuso da una superficie qualunque, che però contenga l'origine delle 

 coordinate, sono soddisfatte da un'unica funzione, uniforme in quello stesso spazio. 

 Questa funzione è data dalla formula: 



<p = J_ r r °- l Wdr. 



r c J o 



3. — Consideriamo ora un'altra equazione differenziale. Supponendo che $ rap- 

 presenti una funzione, uniforme in uno spazio S, che soddisfi all'equazione A 2 = 0, 

 si vuol determinare la funzione q> che soddisfa all'equazione: 



ove A, B sono costanti: e all'altra: 



A 2 q> = 0, (10) 



ed è uniforme nello spazio S. 



