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E questa funzione soddisfa anche l'equazione A 2 = 0, essendo la somma di 

 due termini, ciascuno dei quali la soddisfa, come si è precedentemente dimostrato. 



Ora invece consideriamo il caso che le costanti a, b, resultino immaginarie. 

 Poniamo : 



4-(B-l)=.p, 



essendo p, q, quantità reali. Sarà: 



a = p-\-iq, b=p — iq. 



Dico che anche in questo caso la funzione cp, data dalla formula (12) è la sola 

 funzione reale ed uniforme nello spazio S, che soddisfi alle due equazioni (9) e (10). 



Che le equazioni (9) e (10) sono soddisfatte, è evidente, non dipendendo ciò dalla 

 natura delle costanti a, b. Inoltre la funzione cp, pur contenendo le quantità imma- 

 ginarie a, b, è reale, giacche scambiando tra loro queste due quantità, ossia mutando 

 i in — i, non si altera. La sua espressione senza immaginarli si eostruisce facil- 

 mente, ponendo in luogo delle quantità a, b, i loro valori p-\-iq, p — iq, e appli- 

 cando la formula: 



r ±i q _ cos (g, log r ) -j- i S en(q logr). 



Si ottiene così: 



q> = — g — — )(p -\- 1) cos(q logr) -f- qsen(q logr) j I r p ~ l sen(qlogr)Q>dr -f- 



-f- )qcos(q\ogr) — (p -f- l)sen(glogr) j ) ì ;p ~ 1 cos(q\ogr)'t>dr 

 E se poniamo: 



r ij» i / i m _ . K ^ =- = sen e , , * = = cose , 



2 1 ilp + lf + q* V(l» + !)* + «* 



la formula trovata potrà scriversi, più semplicemente: 



cp = — < sen (j log r -f- e) r p_1 sen(2logr)0rfr -f- 



-f- cos(trlogr-l-e)| r p ~ 1 cos{_q\ogr)Q>dr > . (13) 



Dico poi che la funzione cp è uniforme in tutto lo spazio S, in cui è tale la cj). 

 Infatti, l'unico punto, per il quale può rimaner dubbio, è l'origine delle coordinate. 

 Ma, osservando la formula (12), si vede facilmente che per r = 0, la funzione 6 



