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assume il valore y-|- , ossia g , , ? ,. , essendo 4> il valore che prende in quel 



punto la funzione O: e la sua derivata rispetto ad r si annulla. 



Dunque la funzione <p, quale è data dalla formula (13), soddisfa a tutte le con- 

 dizioni richieste. 



Si tratta ora di dimostrare che essa è l'unica funzione che le soddisfi. Per ciò 

 basterà provare che nessuna funzione reale ed uniforme, soddisfa l'equazione diffe- 

 renziale : 



a(H + r^) + r±( bv+ r^)=0. 



L'integrale generale di questa equazione è: 



U , V 



essendo U, V, quantità indipendenti dalla variabile r. 

 Possiamo anche scrivere: 



U _j_ V 

 t r p+iq l r t-iq ' 



ovvero : 



<p = ~-(u»-" + v^ 



Affinchè questa espressione sia reale, occorrerà che le quantità TJ, V siano im- 

 maginarie coniugate. Poniamo: 



\j = 11 -\- iv , V = w — iv. 



Sarà: 



ossia: 



qp = -i- j u{r~ ul + r">) -f- iv(r " — r") j 

 cp = — ^- < wcos(g'logr) -\- vsen(qlogr) > . 



Ma questa funzione, quando r tende a 0, diventa indeterminata: essa dunque 

 non soddisfa alle condizioni richieste, a meno che non sia: 



u = , v = , 



e quindi: 



q> = 0, 



ciò che appunto volevamo dimostrare. 



Riassumendo, se <t> è una funzione uniforme in un certo spazio, e che soddisfi 



