9 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 111 



all'equazione A 8 = 0, l'unica funzione cp, reale ed uniforme in quello stesso spazio, 

 che soddisfa alle due equazioni: 



A 8 cp = 0, 

 è la funzione data dalla formula 



cp = —j- \ sen^logr -f- €) ) r p ~ 1 seri (qlogr) <t> dr -\- 



-\- cos(qlogr -\- e) j r p ~ l cos(qlogr)<Pdr i (14) 



ove: 



F = -L(B-1), 3= =j/a--L (B _1)*, 



^ + ^ + 1 , e =,arctang^+l 



(15) 



H 



4. — Ora dimostreremo il teorema enunciato in principio, che cioè una fun- 

 zione <P, uniforme in uno spazio S, e che soddisfi all'equazione A 2 A 2 = 0, si può 

 sempre porre sotto la forma: 



essendo cp, x funzioni uniformi in quello spazio, e che soddisfano all'equazione A 2 = 0. 

 Per ciò basterà dimostrare che esiste sempre una funzione <p uniforme in quello 

 spazio, la quale soddisfa all'equazione A 2 = 0, ed è tale che anche la differenza 



cp-(^ + i/ 2 + ^-R 2 )cp, 

 soddisfa a quella equazione: cioè si ha: 



A.*_a<p_4(*£+ y -*+,-g-)=0, 



ovvero, indicando con 4Y la funzione A 2 $, che soddisfa all'equazione A 2 = 0, 



3 òcp ,., 



x cp-f-^^r = V. 



Ma questa non è che l'equazione (2) in cui la costante positiva e vale — . Dovendo 



poi essere A 8 cp = 0, potremo applicare la formula (4), ed otterremo così l'unica fun- 

 zione 9 che soddisfa a tutte le condizioni richieste. 

 Il teorema è dunque dimostrato. 



