112 EMILIO ALMANSI 10 



Da esso resulta che se in un problema compariscono n funzioni che soddisfano 

 all'equazione A 2 A 2 = 0, potremo introdurre, in loro vece, 2« funzioni che soddisfano 

 all'equazione A 2 = 0. Ora però dimostreremo che se si hanno 3 funzioni u, v, w, 

 tali che le funzioni A 2 m, A 2 «, A 2 w, sieno le derivate rispetto ad x,y,z, di una 

 stessa funzione k che soddisfi all'equazione A 2 0; se cioè: 



A ■> <^ K A 2 dlt A 2 ÒK ,,„-. 



A ' u = i^> Ay = l>7' * w = ^r> (16) 



le tre funzioni u, v, tv, che dovranno evidentemente soddisfare all'equazione A 2 A 2 = 0, 

 si possano esprimere mediante 4 sole funzioni cp, X, u, v che soddisfino all'equazione 

 A 2 = 0, ponendo: 



*=(* 2 + / + z 2 -R 2 )|^ + u, (17) 



Infatti da queste equazioni si ricava: 



A 2 » = 6 ~ 4- 4 a; 4^-J- + «/ tht + » -Hr - 

 a *" — ° d* ^ 4 \ d*ò* ^ y d*dy T * d* 2 ' 



ossia : 



* ! »=eM*^ + .» j v+"*) + 2 *ì- 



Dal confronto di queste equazioni colle (16) risulta che si potrà porre, indi- 

 cando con C una costante arbitraria: 



od anche: 



i^ + ^-i(K + C). 



