11 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 113 



Osserviamo che le funzioni u, v, w non mutano se facciamo variare la fun- 

 zione cp per una costante. Questa costante si potrà prendere in modo che sparisca, 

 nell'equazione precedente, l'altra costante C. Allora si avrà: 



Dovrà poi essere A g (p = 0. Ma, come sappiamo, esiste sempre una funzione, uni- 

 forme nello spazio in cui è tale la funzione k, che soddisfa queste due equazioni. 

 Ottenuta la cp, dalle formule (17) ricaveremo le funzioni \, u, v, che dovranno neces- 

 sariamente soddisfare all'equazione A* = 0. 



Il teorema è dunque dimostrato: di più, si è trovato l'equazione (18), che lega 

 le due funzioni cp, k. 



II. 



1. — Consideriamo un solido elastico, isotropo, limitato da una superficie cr. Sia E 

 il suo modulo di elasticità normale, m il coefficiente di contrazione. A ciascun ele- 

 mento da della sua superficie sia applicata una forza infinitesima Fda, in modo che 

 il solido abbia subito una certa deformazione. 



Riferito il solido ad un sistema di assi ortogonali 0(x, y, z), diciamo, per un 

 suo punto qualunque, di coordinate x, y, z , 



£, 1, l, 

 le componenti dello spostamento : 



T T T 

 T T T 



le tensioni interne, normali e tangenziali. 



Scriveremo indifferentemente T yz , o T zy , etc. 



Le tensioni interne sono legate agli spostamenti dalle formule: 



2(1 + ^^(^0 + 2^-), 

 2(l+^T„ = E( T ^0 + 2j-] ; 



'.; (1 + " ,T C ls (f + ^ 



2(1 + *)!.. = E (£ + -£ 



(19) 



2(l + ^=E(-g- + f), 



Serie U. Tom. XLVll. 



