116 EMILIO ALMANSI 14 



n = (* 2 + 2, 2 + z 2 -R 2 )|^ + n, (25) 



r = (^ + / + ^-R 2 )-^ + v, 



ove le funzioni <p, X, u, v, soddisfano all'equazione A 2 = 0. E tra le due funzioni cp, 

 — — 0, dovrà passare la relazione espressa dalla formula (18), ossia: 



i^+^^-40^) - < 26 ) 



Ma dalle formule precedenti, ricordando la (20), si ricava: 



òx ' y dy dz I ' Ox ' òy ' Òz 



ossia, ponendo per semplicità 



òx ' oy òz 



or ' 



Avremo dunque, sostituendo nell'equazione (26): 



2 9 ^ r òr 4(1 -2m) [ àr òr ^ V 



od anche: 



3 — 4m ^^ r òr 2(3-4»») l '' 



Si tratta ora di determinare le quattro funzioni q>, X, fi, v. 

 Alla superficie della sfera si ha: 



S = X, n = fi, Z = v: 

 dovrà quindi essere: 



X = l T , fi = n, , v = Z^ . 



Ma le funzioni X, u, v soddisfano all'equazione A 2 = 0. Dunque, sotto certe con- 

 dizioni a cui dovranno soddisfare le quantità So- , tv , £<r , potremo determinare quelle 

 funzioni per tutti i punti della sfera. 



