15 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 117 



Detto M un suo punto qualunque, sarà: 



-.2 



tv do", (28) 



lo- da , 



nelle quali £ r , r> , L, sono le componenti dello spostamento di un punto N di a, 

 r è la distanza dal centro della sfera al punto M, w l'angolo MON. 



Passiamo ora a determinare le funzioni (p. Ci varremo dell'equazione (27). 

 Poniamo per semplicità: 



1 — 2»t l . 



C ' Oro A ™\ •"- 



X 



= 



1 

 2itR 



J. 





R a 



-r 2 





(R 2 + 



,.»_ 



•2Rr 



COSO)) 2 



M 



= 



1 



1. 





R 2 



-r ! 





2nR 



(R 2 + ; 



r« — 



2Rrcosu))2 



V 



= 



2ttR 



J; 





R 2 



-r' 





(R s + : 



r*_ 



2Rr 



costu) 2 



3 — ±m ' 2(3 — 4m) 



Avremo l'equazione: 



ccp + r -jr~ = A4». 



La costante m è compresa tra ed — . Dunque la costante e è positiva. Inoltre 



la funzione <t> soddisfa, come le funzioni X, u, v, da cui dipende, all'equazione A 2 = 0. 

 Ed alla stessa equazione deve soddisfare la funzione q>. Potremo dunque applicare 

 la formula (4), ed avremo: 



V^AJrjy^Qdr. (29) 



Così abbiamo determinate tutte e quattro le funzioni che compariscono nei se- 

 condi membri delle formule (25). 



2. — Per calcolare le derivate della funzione cp, rispetto alle variabili x, y, z, 

 vediamo da prima come viene espressa la funzione $. 

 Essa è data dalla formula: 



dx ' òy ' òz 



Prendiamo la prima delle formule (28): 



X= » f (R3 ~^ £ - . da. 



2uR 



(R 3 + r 9 — 2Rreosu))i 



