19 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 121 



od anche: 



ASTT ! ò / dT , dT | ÒT m\ 



1 + m dx V ò* " <?y oz / 



Le espressioni A 2 U, A 2 V, A 2 W, sono dunque le derivate della funzione: 



1 + m ' òr X / ' 



che soddisfa, come la T, all'equazione A 2 = : ciò che volevamo dimostrare. 

 Potremo quindi porre: 



U = (z 2 -f^ + z 2 -R 2 )^ + \, 



V=( a *-+ ! f + ««_R»)-g?+-£ > (38) 



W = (^+j, 2 + z 2 -R 2 )^ + v, 



essendo <p, X, u, v, funzioni che soddisfano all'equazione A 2 = 0. E sarà, per la 

 formula (18): 



Abbiamo così una prima relazione tra le funzioni cp, T. 



Una seconda relazione si ottiene nel seguente modo. Deriviamo la prima delle 

 equazioni (37) rispetto ad x, la seconda rispetto ad y, la terza rispetto a *, e som- 

 miamo. Otterremo: 



dU _|_ _ÒV_ , ÒW m , T _, rp 1 



dx "•" di/ "T" Òz ~ xx "T" 7» "T" X& "T" 



dTzx | dT I!( , dT* 



"^l da; ~*~ dy "^ d* /~™l bx "•" dy "•" dz j ~r*l d* 

 ossia, per le formule (21) e (22): 



jw . _dv , aw ^rp 



da: ~ dj/ ' d» 

 D'altra parte, dalle formule (38), ponendo per semplicità: 



da: ^ dy ~ dz ~~ ' 

 Seme E. Tom. XLvTI. 



dy ! tei 1 



