21 Sulla deformazione della sfera elastica 123 



dimento identico a quello seguito nel problema precedente. Detta F la forza applicata 

 in un punto N di C, e chiamando ò, e gli angoli che la sua direzione fa colle dire- 

 zioni OM, ON, si otterrà nel punto M della sfera: 



(5R 3 — r" — 2Rrcosu))rcosb — 3(R a — r 3 )cos€ ~ , 



Ed ora dobbiam trovare la funzione cp. Essa deve soddisfare all'equazione: 



(R 2 +r 2 — 2Rrcosii))l 



(1 + m)q , + 2(1+m)r ^ + ^1*= 1 ( _ 



ò<t> 



òr ' ' òr 2 ~ 2 \ " òr 



e all'altra: 



A'cp = 0, 



e inoltre essere uniforme in tutta la sfera. Ma noi abbiamo veduto (I — 3) che esiste 

 una sola funzione che soddisfa a queste condizioni, ed è quella data dalla for- 

 mula (14), ossia: 



9 =-^-<sen(glogr-)-e) I r p ~ l sen (qlog r) <t> dr -{- cos(qlogr -\- e) j r ?-1 cos((2logr)cp<m. 



(42) 

 Si ha nel nostro caso: 



A = 1 -f m , B = 2(1 + m). 



Dunque, per le formule (15), sarà: 



1 



V — -ir + m , 



«=-^ 



+ «) 



?=f 



-H/3- 



4w 8 , 



e = 



= arctang 



3 + 2». 

 V3 — 4m ! 



(43) 



ed essendo m minore di -3-, la costante q sarà reale. 



ài 



Così abbiamo calcolate le 4 funzioni \, u, v, cp; e quindi, per le formule (38), 

 conosceremo le tre funzioni U, V, W. Se poi nella formula (40) poniamo, in luogo 

 di cp, l'espressione trovata, avremo la funzione T; la quale, moltiplicata per il fat- 



tore costante = — , dà la dilatazione in un punto qualunque della sfera. 



Ed ora riprendiamo le formule: 



U = *T« + yT„ + *T„, 



