23 SULLA DEFORMAZIONE DELLA SFERA ELASTICA 125 



Così conosciamo in tutti i punti della sfera, le componenti della rotazione. 

 Ora osserviamo che la prima delle equazioni (45) può scriversi: 



o L & i_ te d£ \ i Ni te \ / ò£ òl\ u 



e in modo analogo le altre; e tenendo conto delle formule precedenti: 



o„ te p , f 1 / dP ÒR \ , f 1 / dQ dP \ , ,.„, 



2r l*= P + z Jo-\^--^) dr - *),— (-£ ~ W ) dr, ecc. (46) 



Nei secondi membri di queste equazioni compariscono le funzioni P, Q, R, che 

 abbiamo già determinate. Dunque , ricordando che , per r = 0, le funzioni £, n, l, 

 devono annullarsi, otterremo facilmente i loro valori in tutti i punti della sfera. 



L'equazione (46), e le analoghe, possiamo da prima trasformarle, ponendo per un 

 punto qualunque della sfera: 



x y „ z 



— - = cosa , -^ = cosB, — = cost 



r r r 



ed osservando che lungo uno stesso raggio gli angoli a, (3, t si mantengono costanti. 

 Allora, se dividiamo per 2r, avremo: 



òr 



P 1 fi i/JP ÒR \ , / dQ dP \ „ ) , 



= 27 + -rJ.— |(ir - "sr) C0ST - (u ~ 17) cos * \ dr > ecc - 



x y z 



inoltre: 



Torniamo ora a indicare con — , £- , — i coseni degli angoli a, (5, f. E poniamo 



ÒR _dQ__rr iL _dR_ _ ti dQ_ ÒP _ „ 



dy ~" d* — n " dz ~ d« ~~ 2 ' ò* ~ dy ~ 3 " 



Si avrà: 



f" = Ì + T" JI^- ^ H * - ^ Hs) dr ' ecc - 



Se finalmente integriamo, ricordando che lo spostamento del centro della sfera si è 

 supposto nullo, otterremo le formule: 



>» = £[1 + ÌI'Ì (-Ha - fBWr] *r, 

 colle quali il problema è risoluto. 



