7 SULLE VIBRAZIONI DEI CORPI SOLIDI, OMOGENEI ED ISOTROPI 187 



Chiameremo U, V, W; U', V, W; U", V", W" le funzioni coniugate ad u,v,w 

 nello spazio (x, y, z, t) e relative alle equazioni (2), (2'), (2") della introduzione rispet- 

 tivamente. 



§ 2. — Integrali principali e loro funzioni coniugate nello spazio (x, y, z, t). 



3. — Ricordiamo anzitutto, e del resto si verifica facilmente, che, se V(x, y, z, t) 

 è un integrale particolare dell'equazione 



(4) U_a*Y = 



e se (xi, t/i, z h ti) sono le coordinate di un punto determinato dello spazio (x, y, z, t), 

 ponendo : 



(5) V, = Y [b («! — 0, ®i — %,yi-^-y, *i — *]. Yj = ¥[«(<!— t), Xl—x, yt — y, z y — z\ 

 si hanno in: 



(6) 





t ' 1— dy ' 





u 2 = , 



» - ^ 



dY 3 



òy 



„ — ^ 



»3=0', 





ò<f a 



ÒM» 2 



w i = , 



quattro sistemi di integrali particolari delle equazioni (2) o (2') o (2") della intro- 

 duzione, quando sia X = Y = Z = 0. 

 Possiamo ora porre evidentemente 



Y = -r=±- :- + ÌX 2 + V-+Z* 



Se ora poniamo 6' 2 = è 2 — 2a 2 , a' 2 = — a 2 le equazioni (a), ((3), (y) si riducono rispettivamente alle 

 [(2) intr.], (1) e (I); mentre se poniamo b' 2 = è 2 , a' 2 = a 1 esse si riducono alle [(2') intr.], (1') e (II). 



L'equazione (III) non si può ottenere particolarizzando in qualche modo la formola (y); però si 

 potrebbe anch'essa attaccare ad una formola più generale in cui vi compaiano oltre ad a e b ancora 

 altre costanti. Questa formola può, p. es., dedursi, col solito processo, dal sistema di equazioni che 

 si ottiene sostituendo nel sistema (2") della introduzione alla differenza b' x — a 2 la differenza b' 2 — a' 2 , 

 dove a! e b' sono due altre costanti soggette alla sola condizione b' 2 — a' 2 = 6 2 — a 5 . 



Per le considerazioni che svolgeremo potremmo prendere come punto di partenza queste for- 

 inole generali e dai risultati che così si otterrebbero, dedurne poi sistematicamente quelli che si 

 riferiscono alle forinole fondamentali (I), (II) e (III) che sono poi quelli che abbiamo in vista. Noi 

 preferiamo invece di occuparci direttamente e distintamente di questi tre casi. 



