192 



ORAZIO TEDONE 



12 



§ 4. — Applicazione delle formolo fondamentali alla determinazione di 9. 



6. — Per la porzione di spazio S 4 che comparisce nelle formole fondamentali, 

 considereremo dapprima la porzione S 4/i , limitata dalla varietà conica B e dalla por- 

 zione Zj, di una varietà a tre dimensioni la quale sia situata in modo che in S (ib 



sia 



bih-t) 



> 1, t l > t, ovvero 



KU — t) 



> 1 , t x < t e soddisfi, oltre che alle con- 



dizioni generali della introduzione, ancora all'altra di essere incontrata in un punto 

 solo da ogni retta parallela all'asse t, questo punto d'incontro potendo essere anche 

 in particolare un punto di contatto. Supponiamo poi che la retta parallela all'asse t 

 che passa pel punto (x h y u z u t^ non tocchi Z. Scelto S 4 a questo modo, supponiamo 

 che u, v, w rappresentino un sistema di funzioni regolari, soddisfacenti alle equa- 

 zioni (2) ovvero (2'), (2") della introduzione e che «x , vx , »» coincidino con M t , v lf w x . 

 Poiché però u u v lf w,_ diventano in S i:b infinite lungo tutta la retta parallela all'asse t 

 passante pel punto (x u y u Z\, h), escluderemo da S 4Ì , quella parte di esso che è limi- 

 tata dalla varietà C ed in cui si ha r < e. Chiameremo S' 4;i) e Z'i, ciò che resta di S 4;i , 

 e di Z;, dopo questa esclusione, con Z''i,, Z"'i, le porzioni di B e C che insieme a Z'j 

 determinano il contorno completo di S' 4)t . 



7. — Ricordando ora che su B si annullano tanto u u v h ivi, quanto le funzioni 

 ad essi coniugate la forinola (I) ci darà dapprima 



(23) I (X u, -f- Yv, + Z w x ) dS', ib = I (Uiu + V,é 4- W,w — U«, — V*, — WwJ dl h . 



JS' 4 ,& J S't-)-Z'"i 



Per le (1), (19) e (20) si ha poi su Z'" ò : 



U lM + V 1 , + W 1 t, = -2(ò 2 -2« 2 )-f ( M | + „|-t- w |)_ 



,,2 A 2 (h—t? ( M dx j_ m dy_ 

 e 3 



dz 



dr dr ' dr 



~Ulh + V»i + W Wl : 

 quindi 



-b^-tf 



— 1 



_ v ' ' \ dr dr ' dr dr ' dr dr j J 



[(U^-r-V^-j-WiW— U«,— V^-W Wl )^= + 2(è 2 - 2^)1^1 e («J+^J + wf )di 



+ 4a 8 J 2 



|V-< 



Ih 



\ I dx , dy 



dz\ -, — , 



W i M ^ + ^ +w ^j^ + (è 2 -2« 2 ) 



e \ <fo - d»' 



dr 



dt\ e 2 



"è^-i) 2 



e dm 



IH 



' & a (*i— *) a 



-*] 



di* cfa; , tfu A/ i dw dz i , 



