29 SULLE VIBRAZIONI DEI CORPI SOLIDI, OMOGENEI ED ISOTROPI 209 



Si possono inoltre ottenere altre identità analoghe alla (43) applicando le con- 

 siderazioni precedenti alla porzione S Ja dello spazio (x, y, z, t), invece che alla por- 

 zione S 4j6 , dopo di aver fatto, successivamente, nelle forinole fondamentali \ = 2, 

 \ = 3, X = 4. Le formolo corrispondenti a tutte queste identità sono di facile co- 

 struzione e non staremo perciò neppure a scriverle. 



20. — Aggiungiamo, invece, ancora l'osservazione seguente. Nei §§ prec. noi 

 abbiamo supposto implicitamente che la retta parallela all'asse t condotta pel punto 

 (Xi , y l7 z lt t { ) incontri £ , ma, poiché noi abbiamo escluso dalle nostre considerazioni 

 soltanto il caso in cui questa retta sia tangente a 2, può supporsi benissimo che 

 la retta in discorso non incontri affatto 2- Se ad una delle porzioni S trb , S 4;0 dello 

 spazio (x, y, z, t), corrispondenti alla ipotesi fatta, applichiamo le considerazioni dei 

 §§ prec. perveniamo a relazioni fra u, v, w e le loro derivate, che hanno la stessa 

 forma della (43) ed analoghe con la sola differenza che gli integrali invece di essere 

 estesi ad S. i;ò e,2t, ovvero ad S 4a e 2 , sono estesi ad S 4j( , e 2&, ovvero ad S 4 ,„ e 2 - 



§ 9. — Osservazioni sui risultati precedenti. 



21. — Le idee fondamentali di cui ci siamo serviti fin qui sono dovute al 

 prof. Volterra il quale si è servito di esse per ottenere la integrazione delle equa- 

 zioni delle vibrazioni dei corpi elastici , omogenei ed isotropi a due dimensioni. E, 

 prima ancora, si è servito di esse per determinare, pel caso sempre dei corpi a due 

 dimensioni, delle forinole generali che contengono come caso particolare quelle che 

 egli pure aveva trovate, e che rappresentano analiticamente il principio di Huyghens, 

 allo stesso modo come la formola di Kirchhoff lo rappresenta per il caso dei corpi 

 a tre dimensioni (*). 



Ciò che vi è di sostanziale in queste idee, in quanto esse si applicano alla fisica 

 matematica, consiste nel considerare il tempo t come una nuova coordinata e di ra- 

 gionare quindi in uno spazio avente una dimensione di più di quello in cui esistono 

 i corpi le cui proprietà fisiche hanno dato origine alle equazioni a cui queste idee 

 vogliono applicarsi e, più ancora, consiste nella introduzione di quelle varietà coniche 

 speciali ad ogni equazione o sistema di equazioni, a cui le stesse idee possono appli- 

 carsi e che noi, seguendo il prof. Volterra, abbiamo indicate col nome di varietà 

 caratteristiche. La opportunità di questa denominazione deriva dal fatto che queste 

 varietà, per le corrispondenti equazioni, hanno una funzione analoga alle linee carat- 

 teristiche che Riemann ha introdotto nell'analisi per trattare la integrazione di equa- 

 zioni a derivate parziali del second' ordine con due variabili indipendenti. Sebbene il 



(*) Vito Volterra, Sulle vibrazioni luminose nei mezzi isotropi — Sulle onde cilindriche nei mezzi 

 isotropi — Sulle vibrazioni dei corpi elastici, " Rend. della R. Acc. dei Lincei „, voi. I, a. 5 a e spe- 

 cialmente: Sur les vibrations des corps élastiques isotropes, " Acta math. „, t. XVIII. 



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