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punto al finito, interno ad S e non sulle superficie che lo limitano, purché si sup- 

 ponga che X, Y, Z ; u, v, w si annullino per ogni valore del tempo inferiore ad un 

 certo limite se si sceglie, nelle formolo rammentate, il segno superiore, o per ogni 

 valore del tempo superiore ad un certo limite se, nelle stesse formole, si sceglie il 

 segno inferiore. Così pure, sotto le stesse condizioni per X, Y, Z ; u, v, w, valgono 

 ancora le relazioni (6), (6'), (6") quando, pur essendo S infinito, il punto (x u «/,, z { ) è 

 un punto esterno ad S. Per dimostrare il nostro asserto supponiamo che la por- 

 zione S dello spazio ordinario sia infinita e sia limitata al finito da certe superficie 

 che possiamo indicare con G e limitiamoci a dimostrare la verità del nostro asserto 

 per la formola (5) solamente, tanto il processo di dimostrazione è identico anche per 

 le altre formole. Perciò stacchiamo da S una porzione finita S' con una sfera ordi- 

 naria la cui superficie indichiamo con Q, che appartenga all'iperpiano t = t e che 

 abbia il centro, p. es., nel punto (x u y { , Zi) ed un raggio abbastanza grande da con- 

 tenere dentro di se le superficie C Applicando la formola (5) allo spazio S' limitato 

 dalle superficie a e Q avremo : 



4nè 2 9(cc 1 ,«/ 1 ,0 l ,i 1 ) = 



-MjL X ( ie 'y' z ' < ' + T) , J_ Y(a;,y,g,<iT|) j^ z(x,y,z,t i + j) I 

 'dar! r ' dyi r ' òzi r \ 



[ d L(x,2/,2,ii + y) d M.(x,y,z, «i + y) à N(x,y,z,t, Tj)j 



ox, r òyi f òzi r > 



s' 



•l a+Q 



+ 



! — io 1 ò 2 f I / , -r r\ dx , / , — r\ dy , / 



J a+Q 



1 "*" 6 / dn\ r 



1 F dx t ] bn r ' oy t ] bn r ' te, 5» r ) 



J a+Q J a+Q J a+Q 



Facciamo quindi crescere il raggio della sfera Q indefinitamente. Da un certo 

 punto in poi su Q si annulleranno sempre u, v, w e quindi anche L, M, N e le de- 

 rivate di u, v, w ; L, M, N rispetto a t ; da questo punto in poi l'insieme degli inte- 

 grali estesi ad Q che compaiono nella formola precedente si ridurrà a zero identica- 

 mente. Similmente quando il raggio di Q sarà diventato abbastanza grande, da un 

 certo punto in poi X, Y, Z e le loro derivate si annullano costantemente, sicché l'in- 

 tegrale esteso ad S' che comparisce nella forinola precedente, da quel punto in poi 

 resterà costante. In conseguenza di ciò la formola precedente resta valida anche 

 quando il raggio di Q è infinito. In questo caso S' coincide con S e la formola stessa 

 con la (5), come si era asserito. 



Questo risultato resta ancora valido se le superficie o" che limitano S al finito 

 si estendono all'infinito, supposto sempre che X, Y, Z ; u, v, io soddisfino alle stesse 

 condizioni di prima. In questo caso S' è limitato da una porzione o~' delle superficie 

 che limitano S e da una porzione di Q. Quando il raggio di Q cresce indefinitamente, 

 da un certo punto in poi l'integrale esteso a a' resta costante ed al limite si ha ancora 

 la formola (5) od una delle altre che abbiamo stabilito in questo §. 



