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CAPITOLO III. 



Integrazione indefinita delle equazioni della elasticità 

 un corpo omogeneo ed isotropo nello spazio ordinario (*). 



§ 1. — Deduzione dell'integrale indefinito delle equazioni della elasticità ecc., 



dalle formole del Cap. I. 



1. — Al concetto più comprensivo di integrale indefinito delle equazioni della 

 elasticità per un corpo omogeneo ed isotropo , corrispondono le formole del Cap. I, 

 per le quali le funzioni u, v, w, soddisfacenti alle equazioni nominate, sono deter- 

 minate quando sono noti, in tutti i punti di una varietà a tre dimensioni, immersa 

 nello spazio (x, y, z, i), soggetta alle condizioni generali della introduzione e all'altra 

 che ogni parallela all'asse t l'incontri in un punto solo, i valori di u,v,w e quelli 

 delle derivate di w, v, w rapporto ad x, y, z, t. Per stabilire le formole di cui parliamo, 

 abbiamo supposto soltanto che le funzioni u, v, w, oltre a soddisfare alle nostre equa- 

 zioni, sieno regolari. E il sistema di funzioni u, v, tv che viene determinato, dietro 

 queste ipotesi, può essere un sistema di funzioni non analitiche, anzi u, v, w possono 

 non ammettere tutte le derivate. Di ciò ci convinciamo facilmente considerando le 

 formole del Cap. II le quali sono casi particolari delle formole ora rammentate. 

 Se si suppone che i valori di u, v, w dati sulla superficie o" non ammettono tutte le 

 derivate rapporto a t, lo stesso accadrà, in fatti, delle funzioni u, v, w in tutti i 

 punti dello spazio S racchiuso dalla superficie (**). 



Se nelle formole del Cap. I supponiamo che Z si riduce all'iperpiano t — 1 , 

 le tre espressioni di 4ttT date dalle (40), (40'), (40") del Cap. menzionato, si ridu- 

 cono a 



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(*) In questo Cap. supporremo ancora sempre X = T = Z = 0. 



(**) Qui possiamo aggiungere, a complemento dell'osservazione fatta, che per le equazioni dei 

 moti armonici, invece, dalla supposizione che gli integrali abbiano le derivate del primo e secondo 

 ordine determinate e atte alla integrazione, discende necessariamente che essi ammettono le deri- 

 vate di tutti gli ordini, e che sono analitici. 



