234 ORAZIO TEDONE 54 



(5) 4 n P = (t, — 1„) \duj \dq> \dt [i|J 3 (£ , r|„ , £„) senw sen cp — ip. 2 (£„ , n , Z )cosuj] a senw 



J ■' J 

 . ,.t j-2» ,.(,((, _/ ) 



4~ — (^ — £ ) dui dcp cft [cp 3 (2„ , n„ , l a ) seniu sencp — cp, (i„ , n a , 2 )cos w] a sen ui , 



0*1 < Jo J o Jo 



mentre le (3) possono scriversi: 



«(* J ,yi,»i,<i) = <Pi(*i,yi,«0 + (*i— f o)vi(»i.yi,»i) 1- ^ + ^ — 5^- 



\m ^td \p 



(6) <«(a; 1 ,yi,»„*,) = (pg(a!„y l ,«,). + (< l — <o) % (*!, y„ a,) -f g- + ^ — ^ 

 «>(»!, yii s t , t,) = cp 3 (a;„ y„ 0,) -j- (tf, — *„) Vstei, y 1( «0 + ^ + 5^ — ^7 • 



Per i, = t è, evidentemente, T = P = Q = R = e -r— = -5— = -?r =^r = 0, 



^ ò«i o<) òfj d<i 



sicché, per t l = t , le espressioni di u,v,w determinate dalle (6) si riducono a 

 <Pi(aà, Vn »0, q>* fot yn '»i)i 93(^1.2/1,21). mentre le espressioni di ^ , -^ , -^-, ricavate 



ancora dalle (6), per t l = t ll , si riducono a Wi(<Ci,yi,3i), U^i, y t , «1), %(#i,yi,2i). Date ora 

 ad arbitrio le funzioni <p h cp 2 , cp 3 ; \y u ijj 2 , ip 3 si possono costruire facilmente le espres- 

 sioni di T, P. Q, R e quindi anche quelle di u, v, w, ossia le formole (6). Tutto ciò 

 che abbiamo detto dimostra che le (6) rappresentano l'integrale indefinito delle equa- 

 zioni della elasticità per un corpo omogeneo ed isotropo nello spazio ordinario. Se 

 le funzioni cp!, cp 2 , cp 3 ; t|) u \\i 2l iy 3 sono analitiche, le funzioni u, v, io, determinate dalle (6), 

 sono analitiche anch'esse e rappresentano, evidentemente, quell'integrale delle nostre 

 equazioni la cui esistenza è dimostrata dal teorema della Kowalevsky. 



Alle espressioni precedenti di T, P, Q, R e di w, v, w si può pervenire anche 

 partendo dalle formole del Cap. II, le quali si possono ritenere dimostrate indipen- 

 dentemente dalle formole del Cap. I, per mezzo delle considerazioni che svolgeremo 

 nell'Appendice a questo lavoro. Però il calcolo che si richiede per raggiungere questo 

 scopo è abbastanza complicato, onde noi preferiamo di dimostrare direttamente che 

 le (6) soddisfano alle equazioni della elasticità per un corpo omogeneo ed isotropo 

 e che ne determinano quindi l'integrale generale. 



§ 2. — Dimostrazione diretta del risultato del § prec. 



2. — Vogliamo ora, come abbiamo già detto, dimostrare direttamente che le 

 funzioni u, v, w, determinate dalle formole (6), verificano le equazioni della elasticità 

 per un corpo omogeneo ed isotropo e rappresentano quindi l'integrale generale di 

 queste equazioni. 



