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k*u + (è 2 - a 2 ) -^ + « 4 A 2 w = 



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a: 



( 16 ") v Jfc*ir+(ft , '-o , )4 ? - + o 1 A s t> = 



di' 



k*w + (è 3 - a 2 ) -jg- + a 2 A 2 w"= 



corrispondenti alle forinole (2), (2'), (2'') della introduzione e sotto cui si possono porre le equa- 

 zioni della elasticità per un corpo omogeneo ed isotropo. Le equazioni (16), (16'), (16") le 

 indicheremo col nome di equazioni dei moti armonici per un corpo omogeneo ed isotropo. 



7. Formole fondamentali per le equazioni dei moti armonici per un corpo elastico, omo- 

 geneo ed isotropo. — Sieno: u, v, w; u K , v% , w K due terne di funzioni regolari in una porzione 

 S dello spazio ordinario, limitata da una superficie 0", soddisfacenti alle equazioni (16), e distin- 

 guiamo, come al solito, con un indice X le espressioni che sono formate con u h , v K , w K da quelle 

 che sono formate, nel modo analogo, con u, v, w. 



Al modo solito, dalle (16) si dedurrà l'equazione 



u x dS 



= F f (ù ux 4- vv> -4- w wj dS + f 2 (& 2 — 2a 2 ) — -f 2a 2 A 2 w 4- 2a 2 (|^ tj) 



= P (uu K -\-vv K -\-ww,JdS-\-\ (Lu* -\-M.v K J r 'Nw,)da 

 J s J a 



- f 1 F(6«- 2« 2 ) 1^ + 2a" (p^ + ^#- + -f- -#^1 4 2a 2 (p4£- -x #-)] ^S 

 J s L da: Vòa; d» hv ÒV oz òz J \ òy * dz /J 



e, dal paragone di essa con quella che si ottiene scambiando u, v, w con w x , v K , w^, si ottiene 

 subito la prima delle formole fondamentali che abbiamo in mira di stabilire. 



(I) 



(Lm. 4- Mv x -+- Nw>Jdff = (l x w4- M,z> 4- N x w) da. 

 Jo Ja 



In modo analogo, partendo dalle equazioni (16') e (16"), si possono stabilire le altre due 

 formole fondamentali : 



(II) f (L'u, 4- M\ 4- Ww>.) da = { (L\ u + M'„ » 4- N'„ w) da , 



■'a Ja 



(ìli) f (L"u„ 4- M.'\ 4- N"w, ) da = f (L" x w 4- M'> 4- N\ w) da , 



■<0 JO 



dove le espressioni L, M,...N" coincidono con le espressioni L, M,...N date dalle (4), (4'), 

 (4") del Cap. II quando ad u,v,w si sostituiscono u, v, w, e le chiameremo funzioni con- 

 iugate di u, v, w rispetto alle equazioni dei moti armonici per un corpo omogeneo ed isotropo. 



8. Integrali principali relativi alle equazioni dei moti armonici per un corpo omogeneo ed 

 isotropo e loro funzioni coniugate. — Cominciamo coll'osservare che se \\>(x,y,z) è una solu- 

 zione della equazione 





