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GALILEO FERRARIS 



§ 2. 

 Prodotti di vettori. 



4. Prodotto scalare. — Dicesi prodotto scalare di due vettori A, B il prodotto 

 dei tensori e del coseno dell'angolo che i due vettori fanno l'uno coll'altro. Esso si 

 rappresenta con AB. — Detti A e B i tensori di A e di B, la definizione si com- 

 pendia nella formola: 



(3) 



AB = AB cos (AB). 



Osservando che A cos (AB) è la grandezza della proiezione di A sulla direzione 

 di B, si può anche dire così: il prodotto scalare di A per B è il prodotto di B 

 per la proiezione di A su di B. 



5. — La definizione (3) dà 



BA = BA cos (BA); 



e siccome BA = AB e cos (BA) = cos (AB), così 



(4) BA = AB. 



Dunque il prodotto scalare di due vettori ha comune col prodotto di due quantità 

 scalari questa proprietà, che si può invertire l'ordine dei fattori senza che muti il 

 prodotto. 



6. — Esso ha pure la proprietà distributiva, rispetto all'addizione. 

 E facile dimostrare in primo luogo che se 



si ha 



(5) 



A = A' + A" -f 



AB = AB + A"B + ... 



A quest'uopo basta osservare che [4] AB è il prodotto di B per la proiezione di A 

 sulla direzione di B; e che [2] questa proiezione è la somma delle proiezioni di A', 

 A", ... sulla medesima direzione di B. Ne deriva che AB è la somma dei prodotti 

 di B per le proiezioni di A', A", ... su B: ossia la somma dei prodotti A'B, A"B, ... 

 Se ora anche 



B = B' + B" -f ... , 



si ha, applicando la proposizione ora dimostrata 



AB = AB + A'B + ... 



= A'(B' -4- B'' + ...) 4- A"(B' + B' + ...) + ... 



