TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 267 



Ma applicando ancora la stessa proposizione (con lo scambio dei fattori, permesso 

 in causa dell'art. 5) si ha 



A'(B' -f- B" + ...) = AB' + AB" + ... 

 A"(B>±B"-\- ...)=A"B'+A"B" + ..., 

 ecc. Dunque 



(6) AB = AB' + A'B'' -f ... -f A'B' + A'B' + 



7. — Dalle definizioni si ricava: 



(7) A 2 = AA = AA cos (0) = A\ 



(8) i*=f = j s ? = l,(*) 



(9) ij=jk = ki=0, 



e dalla proposizione (6): 



AB = (A,i + Ad + AJe) (B.i -f BJ + -B s fc) 



= J.A* + ABJ* + ^ 3 5 3 fc 2 + i^' + ^ifc + ... 



(10) ^i5 = ^A + A,B 2 + J 3 B 3 (**)• 

 Ponendo B — A: 



(li) ^ 2 = ai + j| + j;. 



Se n è un vettore-unità facente l'angolo con A, la definizione di prodotto 

 scalare dà: 



An = A cos 9 = proiezione di A su n. 



Se w e m sono due vettori-unità comprendenti un angolo 0, il loro prodotto 

 scalare è: 



(12) nm, = cos 0. 



Ponendo m successivamente nei tre vettori fondamentali i, j, Ti, questa relazione 

 dà le tre seguenti: 



(13) ni = cos {noe), nj = cos (ny), nJc = cos (nz). 



8. Prodotto vettoriale vettorprodotto. — Dicesi prodotto vettoriale vettorpro- 

 dotto di due vettori A, B un terzo vettore C determinato nel seguente modo. Il 

 suo tensore è 



C = AB sen (AB) , 



(*) Nella teoria dei quaternioni di Hamilton è invece i ! = j* — k 2 = — 1. Le definizioni da 

 noi adottate, differenti da quelle di Hamilton, sono le definizioni di cui si serve Heaviside. 

 (**) Di qui si può dedurre la nota relazione 



cos (AB) = cos (Ax) cos (Bx) -\- cos (Ay) cos (B%j) -\- cos (Az) cos (Bz). 



