TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 269 



è rappresentata dalla somma vettoriale a' -\-a" -\- ..., cioè [2] dalla proiezione a 

 di A sul piano perpendicolare a B. Ora il vettore a, con quella stessa rotazione 

 intorno a B e moltiplicazione per B, ci dà pure ^AB. Dunque 



V(JL' + A" + ...)B = TJA'B + Y^"^ + ... 



Similmente si dimostra, oppure si può dedurre dall'ultimo risultato e dalla pro- 

 posizione (14), che 



YA(B' + B'' + ...) = ^AB + ÌJAB" + ... 



Infine, applicando successivamente l'una e l'altra relazione, si ha 

 y(A+A"-\-...)(B'+B"+ ...) = ^A'(B' + B' + ...) + ^A"(B' + B" + ...) + ...; 



(15) VU' + A" + ...) (B' + B"+...) =^A'B' +][A'B" + ... + ][A"B'+^ A"B"+... ; 



cioè la proprietà distributiva nel senso più generale. Neil' applicarla devesi badare 

 nei singoli prodotti parziali all'ordine dei due fattori [9]. 



11. — Consideriamo tre vettori-unità l, r, a, che, messi in quest'ordine, costi- 

 tuiscano un sistema destrorso ; e supponiamo che a sia perpendicolare al piano di l 

 e di v e che questi comprendano tra di loro un angolo uguale a 6. Le esposte defi- 

 nizioni, applicate a questi vettori-unità, danno: 



(16) }jlr = a sen e. 

 Se = 0, questa dà : 



(16') yir = Q, 



e se 6 = 90°: 



(16") y&- = a. 



Applicando queste relazioni ai tre vettori fondamentali i, j, k, si hanno le seguenti 

 relazioni importanti : 



( Y^=Y < = yfe7c-O; 



(17) 



( v#=*-, W=t> V™=J- 



Se poi si pone 



A = A l i + A4 + AJe , B = B v i + BJ + B 3 k , 



e si svolge il prodotto ^AB per mezzo della proposizione [10], tenendo conto delle 



(17) e raccogliendo i termini in i, in j ed in k, si ha: 



(18) ^AB = i (A 2 B S - A 3 B Z ) + j (A 3 B L - A&) + k {A,B, - A,B L ) 



od anche 



i j k 



(18') ^AB= A 1 A 2 A l 



B, Bz B 3 



