TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 271 



quale ci occorrerà spesso parlare; per indicarla diremo che le due linee sono l'ima 

 coll'altra concatenate. 



Quando una linea chiusa si riduce ad un punto per mezzo di una graduale con- 

 trazione, come abbiamo immaginato, essa prende infinite forme e posizioni successive, 

 l'una all'altra infinitamente vicine. Così essa genera una superficie continua della 

 quale essa costituisce l'intiero contorno. Si possono adunque presentare altrimenti le 

 precedenti definizioni, e dire: Una regione si dice aciclica quando per qualunque 

 linea chiusa data dentro di essa si può condurre una superficie la quale sia intie- 

 ramente situata nella regione e della quale la linea chiusa data costituisca l'intiero 

 contorno. 



Una regione ciclica come quella che abbiamo considerato, p. e. la regione in- 

 terna di un toro, si trasforma in una regione aciclica se si fa in essa una sezione 

 AB (fig. 7) e se le due faccio di questa si considerano come parti della superficie 

 limitante la regione ; se in altri termini si esclude 



dal campo lo spazio compreso tra due superficie in- P°/^-" '■ ^~ s \ 



finitamente vicine ad AB in modo che il campo ri- // .■■-""' y\ 



sulti limitato dalla superficie chiusa formata dalla // / /£ g\ \ 



superficie del toro e dalle due dette superficie infini- / / / / \ % \ 



tamente vicine. Dopo ciò una linea non si può più j I ( ] • ■ 



considerare come tutta contenuta nel campo se essa \ \ \ \ / / / / 



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come la PQ della fig. 6 attraversa la sezione AB. \\ \/"^____^\/ // 



Ora le linee chiuse che non attraversano la sezione \5--^ *" .■■■ /Q? 



AB come la far della fig. 7 possono tutte per contra- ^^J I "1 ^^ 



zione ridursi a un punto senza aprirsi e senza uscire „• „ 



dal campo medesimo; tutte, come la pqr, possono 

 costituire il contorno completo di superficie situate intieramente nel campo. 



In casi meno semplici occorrono, invece di una semplice sezione AB, più sezioni; 

 si hanno ciclosi di ordine superiore ; ma sempre, con un conveniente numero di se- 

 zioni, è possibile trasformare una regione qualunque da ciclica in aciclica. 



13. — Nel campo di un vettore il tensore ed il versore di questo variano, in 

 generale, da punto a punto, ma per ogni punto sono determinati. Il tensore dicesi 

 anche valore, ed in alcuni casi intensità del campo nel punto considerato; il versore 

 definisce la direzione del campo nel punto stesso. Si dice che è nota la distribuzione 

 del vettore quando per ogni punto del campo si conosce il valore e la direzione 

 di esso. 



Se non faremo osservazioni in contrario, noi riterremo sempre che nel campo 

 considerato la distribuzione non presenti alcuna discontinuità. In tutti i casi potremo 

 sempre fare sì che questa condizione sia soddisfatta, limitando il campo considerato 

 per mezzo di superficie, le quali escludano da esso le regioni ove si presentano discon- 

 tinuità ; od anche sostituendo col pensiero ad una variazione discontinua una varia- 

 zione rapida sì, ma continua. Nelle considerazioni di fisica quest'ultimo modo di 

 considerare le rapide variazioni corrisponde spesso alla realtà fisica delle cose meglio 

 del concetto puramente matematico della discontinuità. 



