TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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dopo dello spostamento è ancora dentro di esso, esso si muove lungo il tubo, fluisce 

 in esso; quindi il nome. 



Superficie di livello dicesi una superficie la quale sia normale in ogni suo punto 

 al vettore ivi esistente. Si dimostra facilmente per via analitica che: quando la 

 distribuzione del vettore soddisfa una certa condizione, esistono infinite superficie 

 di livello, sì che per ogni punto del campo se ne può far passare una. 



Supposto ciò, si può per mezzo di linee di flusso e di superficie di livello con- 

 venientemente scelte e rappresentate in un disegno od in un modello fare un reti- 

 colato che dia un'idea della distribuzione del vettore. Come un tale reticolato serva a 

 mostrare in un colpo d'occhio il modo nel quale da punto a punto varia la direzione 

 del vettore è evidente senz'altro. Noi vedremo fra poco come in alcuni casi impor- 

 tanti, mediante opportune convenzioni ed una conveniente scelta delle linee e delle 

 superfìcie rappresentate, esso possa anche indicare il modo di variare della gran- 

 dezza del vettore. 



§ 2. 

 Integrale su di una superficie. Divergenza. 



15. Flusso attraverso ad un elemento di superficie. — Nel campo del vettore A 

 si consideri un elemento di superficie piana di area dS (fig. 10) ; sulla normale al 

 piano di questo elemento si scelga una 

 direzione positiva, e si rappresenti con n 

 un vettore unità avente tale direzione. 

 Dicesi flusso del vettore A attraverso all'e- 

 lemento piano dS nella direzione n il pro- 

 dotto scalare AndS. Rappresentandolo con 

 dcp, si ha: 



(19) dcp — AndS. Fig. 10. 



Il prodotto scalare An è [7] la proiezione del vettore A sulla normale all'ele- 

 mento, cioè la componente del vettore presa nella direzione della normale positiva. 

 Se rappresentiamo con A n questa componente, possiamo anche scrivere: 



(19') 



dcp = A n dS; 



e se diciamo 9 l'angolo di A colla normale positiva n: 



(19") 



dcp = A cos QdS. 



Il flusso dcp è una quantità scalare, la quale cambia di segno quando si inverte 

 la direzione scelta per la normale positiva. Se dcp' è il flusso nella direzione n', si 

 ha dcp' = — dcp. 



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