TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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fluido che passa a traverso di un elemento di questa superficie, riferito all'unità 

 superficiale. A questo volume si dà il nome di spostamento nel punto del campo 

 considerato. 



Qui noi abbiamo supposto che il vettore A rappresenti lo spazio percorso da 

 una particella del mezzo. Se supponiamo che esso sia semplicemente proporzionale 

 a tale spazio, che cioè esso sia uguale a tale spazio moltiplicato per una costante 

 scalare, troviamo che il flusso cp rappresenta il volume di fluido passato attraverso 

 alla superficie moltiplicato per la medesima costante scalare. Il tensore A è in questo 

 caso semplicemente proporzionale allo spostamento dianzi definito. Se supponiamo 

 che il movimento del mezzo si compia nel tempo infinitesimo t, e se diamo alla 



costante scalare ora considerata il valore —, il vettore A rappresenta la velocità del 



movimento, ed il flusso cp rappresenta la quantità di fluido che passa attraverso 

 alla superficie in una unità di tempo. 



16. Flusso attraverso ad una superficie chiusa. — È importante il caso nel quale 

 S è una superficie chiusa. In questo caso se n è sulla normale esterna, cp si può 

 denominare il flusso uscente dalla superficie; se ti è sulla normale interna, si può 

 denominare flusso entrante nella superficie. Si può anche dire nel primo caso: flusso 

 uscente dallo spazio, o dalla regione, o dal volume, contornato dalla superficie S, e 

 nel secondo caso : flusso entrante nello spazio, nella regione o nel volume medesimo. 



Immaginiamo che il volume V racchiuso nella superficie chiusa S sia in un 

 modo qualunque diviso in un certo numero di parti v. Noi possiamo considerare il 

 flusso uscente dal volume totale V e quelli uscenti 

 dalle singole parti v di tale volume. È facile vedere 

 che se dentro alla superficie S la distribuzione del 

 vettore non presenta discontinuità, la somma dei flussi 

 uscenti dai volumi parziali v è uguale al flusso uscente 

 dall'intiero volume V. Per ciò dimostrare basta con- 

 siderare due qualunque delle parti v le quali siano 

 contigue 1' una all' altra, per esempio le parti p e q 

 (fig. 11), le quali combaciano colla faccia comune abcd. 

 Il flusso che attraversa la superficie abcd (quando 

 sulla normale di questa si scelga un verso positivo) 

 esce da uno dei due volumi p e q ed entra nell'altro ; 

 esso è una parte positiva del flusso uscente dal primo ed una parte positiva del flusso 

 entrante nel secondo, ossia una parte negativa del flusso uscente dal secondo; per 

 ciò nella somma dei flussi uscenti da p e da q esso dà due termini uguali e di segni 

 contrari, i quali si elidono. Rimangono non elisi solamente i flussi attraverso a quelle 

 faccie dei v le quali fanno parte della superficie S; e la somma di questi flussi costi- 

 tuisce appunto il flusso uscente da S. 



Lo stesso evidentemente si può dire dei flussi entranti. 



Fig. 11. 



17. Divergenza. — La proposizione precedente sussiste qualunque siano le gran- 

 dezze ed il numero delle porzioni nelle quali il volume V è stato diviso ; essa rimane 



