278 GALILEO FERRARIS 



e si eseguisce per mezzo della forinola (10) il prodotto scalare simbolico V^, si trova 



dAi | dA, , dA 3 



dunque si ha pure: 

 (21") 



dx oy 



div A = VA. 



òs 



19. Teorema della divergenza. — La (21) dà: 



dq> = div^i. dv, 

 e la proposizione dimostrata all'art. 16 si traduce nella forinola 



(23) jdiv A. dv = § AndS, 



ove cogli indici v ed S messi al piede dei segni J si vuole ricordare che il primo 

 integrale è esteso a tutto il volume racchiuso dentro alla superficie S ed il secondo 

 è esteso a tutta questa superficie. 



Sotto questa forma la proposizione viene detta: teorema della divergenza. Essa 

 dice che se nell' interno di una superficie chiusa la distribuzione del vettore non 

 presenta discontinuità, l'integrale della divergenza esteso a tutto il volume limitato 

 da tale superficie è uguale all' integrale del vettore esteso a tutta la superficie e 

 calcolato prendendo come positiva la normale esterna. In altri termini: l'integrale 

 della divergenza esteso a tutta una regione, nella quale la distribuzione non presenta 

 discontinuità, è ugnale al flusso uscente dalla regione medesima. 



20. Distribuzione solenoidale. — Se in tutti i punti di una regione la divergenza 

 è uguale a zero, la distribuzione del vettore dicesi solenoidale. 



La condizione perchè la distribuzione sia solenoidale si esprime analiticamente colla equazione: 

 (24) VA = 0. 



Pel teorema della divergenza [19] la definizione equi- 

 vale a quest'altra: Un vettore ha una distribuzione sole- 

 noidale quando il flusso uscente da una superfìcie chiusa 

 è sempre uguale a zero, qualunque sia tale superficie e 

 comunque essa sia situata nel campo. 



Si considerino due superficie S ed S" (fig. 13) aventi 

 per contorno una medesima linea chiusa AB. Le due super- 

 ficie, prese insieme, costituiscono una superficie chiusa; 

 e se la distribuzione del vettore è solenoidale, e lo spazio 

 racchiuso da questa superficie è tutto contenuto nel campo, 

 il flusso uscente da essa è uguale a zero. Ora il flusso 

 uscente dalla superficie chiusa SS' è la differenza dei flussi 

 attraversanti nel medesimo verso S ed S' ; dunque questi due flussi sono uguali. 



Fig. 13. 



