TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 281 



basta a dare non solo la direzione ma anche il valore, non solo il versore ma anche 

 il tensore del vettore in ogni punto. Là dove le linee sono più fitte il vettore è 

 più grande; là dove sono più rade, esso è più piccolo. 



La rappresentazione si può rendere più completa per mezzo del disegno o della 

 costruzione di un certo numero di superficie di livello. — Ma del modo di scegliere 

 queste superficie si dirà più sotto. 



22. — Il legame che passa fra l'accostarsi o scostarsi delle linee di flusso e 

 la variazione del vettore nei diversi punti si può porre in evidenza, più direttamente, 



anche in questo modo. Immaginiamo nel 



campo a distribuzione solenoidale un tubo ^-~--^^a^ ___Z3ò^~ 



di flusso infinitamente sottile (fìg. 15), e 



consideriamo due sue sezioni rette a, a' Flg ' 



qualunque, le aree delle quali sieno dS e dS'. Diciamo A, A' i tensori del vettore 

 nei punti di a, a'. I flussi attraverso a queste due sezioni sono AdS, A'dS', e sic- 

 come questi sono uguali, così si ha AdS = A'dS', — F =—; ossia: lungo un tubo di 



Jì. Ciò 



flusso infinitamente sottile il vettore varia nella ragione inversa dell'area della se- 

 zione trasversale. Se il tubo va allargandosi il vettore va diminuendo di valore e 

 viceversa. Siccome ciò si può ripetere per tutti i tubi infinitesimi immaginabili, così 

 concludiamo che là ove le linee divergono il vettore va diminuendo, e là dove con- 

 vergono il vettore va aumentando. 



Se dS = dS', si ha anche A = A'; se i tubi di flusso hanno sezioni costanti, 

 il vettore ha, lungo ciascun tubo, un valore costante. 



§ 3. 



Integrale lungo una linea. Circuitazione. 



23. Definizione. — Sia PMQ (fig. 16) una linea qualunque tracciata nel campo 

 di un vettore e si scelga su di essa una direzione positiva, p. e. la PQ; sia poi A 

 il vettore in un punto M della linea , e ds un ele- 

 mento MN della linea stessa, preso a partire da M 

 nel verso positivo. L' elemento ds è anch' esso un 

 vettore; si faccia il prodotto scalare Ads. Lo stesso 

 si faccia per tutti gli elementi della linea PQ e si 

 sommino tutte le quantità scalari infinitamente pic- 

 cole così ottenute, si faccia cioè l'integrale 



f Ads; 



JpQ 



questo si dice l'integrale del vettore A lungo (o sulla) 



linea PQ. Coll'indice PQ messo al piede del segno J, g- 16 ' 



noi ricordiamo che l' integrazione è fatta nel verso PQ, che cioè PQ è il verso 



scelto come positivo. 



Serie IT. Tom. XLYIT. K 1 



