TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 283 



25. — Supponiamo che la regione considerata sia aciclica, o che sia stata resa 

 tale per mezzo di convenienti sezioni [12]. Allora per la linea chiusa considerata 

 PMQmP (fig. 18) si può far passare una superficie della quale la linea stessa costi- 

 tuisce l'intiero contorno. Immaginiamo tracciata una tale su- 

 perficie. Supponiamo poi che questa sia, in un modo qua- 

 lunque, scomposta in un numero qualsiasi di parti, come 

 p, q, r, ecc.; e facciamo le circuitazioni sulla linea data 

 PMQmP e sui contorni delle singole parti p, q, r, ecc., 

 sempre nel medesimo verso u rispetto alle superficie rac- 

 chiuse (cioè in modo, ad esempio, che ogni superficie sia 

 sempre a destra di chi, stando da una banda determinata 

 di essa, ne percorre il contorno nel verso fissato). Se sulla 

 superficie che s'è tracciata per la linea PMQmP la distribu- 

 zione del vettore non presenta discontinuità, la somma delle 



circuitazioni sui contorni delle porzioni di superficie p, q, r Fig. 18. 



è uguale alla circuitazione sulla linea PMQmP. 



Infatti consideriamo la linea ab di separazione tra p e q. L' integrale del vet- 

 tore lungo questa linea figura due volte nella somma delle circuitazioni, una volta 

 come parte della circuitazione sul contorno di p ed una volta come parte di quella 

 sul contorno di q. Ma la prima volta esso è fatto nel verso ha e la seconda nel 

 verso ab. Perciò esso dà luogo a due termini uguali e di segni contrarii, che nella 

 somma si elidono. Si elidono così tutti gli integrali sulle linee di separazione tra le 



parti p, q, r , e rimangono solamente quelli fatti sulle parti del contorno PMQmP, 



la somma dei quali costituisce appunto la circuitazione su tale contorno. 



Questa proposizione vale qualunque sia il numero delle parti nelle quali si è 

 divisa la superficie considerata. Essa sussiste ancora se si divide la superficie in 

 elementi infinitamente piccoli. Quindi la circuitazione su di una linea qualunque 

 PMQmP si può sempre considerare come la somma delle circuitazioni fatte sui con- 

 torni di infiniti elementi superficiali. Questi elementi, essendo infinitamente piccoli, 

 si possono trattare come piani. Il calcolo della circuitazione su di una linea qua- 

 lunque è così ricondotto a quello relativo ad un elemento piano. 



26. — Per chiarire il concetto importante di circuitazione attorno ad un ele- 

 mento piano e per dare ragione di alcune denominazioni che si avranno a stabilire, 

 giova, prima di procedere oltre, vedere quale sia il valore ed il significato della 

 circuitazione su di una linea piana in un semplicissimo caso particolare. 



Noi vogliamo supporre, come abbiamo già fatto altra volta, che il vettore con- 

 siderato sia, per ogni punto del campo, proporzionale allo spostamento di un punto 

 materiale inizialmente situato in quel punto, ed appartenente ad un corpo il quale 

 riempia il campo e in esso si sposti infinitamente poco. Ciò noi possiamo sempre fare 

 qualunque sia la distribuzione del vettore; ma qui noi vogliamo supporre che il 

 corpo mobile si muova come un sistema rigido, e che il suo movimento sia sem- 

 plicemente uno spostamento angolare di ampiezza infinitamente piccola a, attorno 



