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GALILEO FERRARIS 



ad un asse perpendicolare al piano della figura (tìg. 19). Vogliamo poi considerare 

 come vettore in un punto M dapprima addirittura lo spostamento infinitamente pic- 

 colo MA che in causa della rotazione attorno ad 

 subisce il punto del sistema rigido che prima della 

 rotazione medesima era in M. 



Diamoci una linea piana qualunque PMQ si- 

 tuata nel piano della figura, che è perpendicolare 

 all'asse 0, e calcoliamo l'integrale del vettore MA 

 preso da P verso Q lungo la medesima. All'ele- 

 mento MN della linea corrisponde nell'integrale 

 l'elemento MA (MN. cos AMN), ossia MA . MA , 

 ossia ancora a. OM . MA . Ma OM . MA è a meno 

 di un infinitesimo di ordine superiore il doppio della superficie del settore infinita- 

 mente piccolo OMN, dunque l'elemento dell'integrale è uguale a 



Fiar. 19. 



2 a X area OMN. 



L' integrale lungo l'arco finito PMQ vale per conseguenza : 



2 a X area OPMQ. 



Se l' integrazione fosse fatta nel verso opposto l' integrale avrebbe questo stesso 

 valore col segno contrario. 



Se la linea, lungo la quale si fa l'integrazione, è chiusa, l'integrale è uguale a 

 2 a moltiplicato per l'area contornata dalla linea, e ciò qualunque sia la posizione 

 dell'asse di rotazione. Se infatti l'asse cade in (fig. 20), nell' interno della linea 



chiusa, le aree OMN debbono prendersi tutte col 

 medesimo segno e la loro somma dà l'area totale 

 contornata. Se l'asse ha la traccia 0' fuori della 

 linea chiusa, si hanno a tirare le tangenti O'P, 

 O'Q, ecc. alla curva, la quale risulta così divisa 

 in parti dai punti di contatto P, Q, ecc. : ad es., 

 nella fig. 20, in due parti PMQ, PmQ. L'integrale 

 lungo la parte PMQ è uguale a 2 a X area O'PMQ; 

 quello lungo l'arco QmP è uguale a — 2a X area 

 O'PmQ; l'integrale totale, ossia la circuitazione, 

 è quindi uguale a 



Fisr. 20. 



2 a X (area O'PMQ — area O'PmQ) 



ossia ancora a 2a X area PMQmP. In tutti i casi adunque la circuitazione è uguale 

 al doppio dello spostamento angolare moltiplicato per la superficie contornata. — 



Se il vettore considerato non è lo stesso spostamento infinitesimo, come dianzi 

 abbiamo supposto, ma è proporzionale ad esso, se cioè è lo spostamento moltiplicato 

 o diviso per una costante scalare, il valore della circuitazione è quello dianzi trovato, 

 moltiplicato o diviso per la medesima costante scalare. In particolare possiamo sup- 



