TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 285 



porre che il vettore sia la velocità lineare nel punto M considerato dovuta alla rota- 

 zione del sistema rigido. Allora esso è uguale allo spostamento infinitamente piccolo 

 del punto M, diviso pel tempo infinitamente piccolo t nel quale questo si compie. 



Perciò la circuitazione è uguale a 2 — X area contornata. Ma — è la velocità an- 



T T 



golare della rotazione; dunque concludiamo che la circuitazione della velocità lineare 

 è uguale al doppio del prodotto della velocità angolare per la superficie intorno alla 

 quale la circuitazione è fatta. — 



Se si divide il valore della circuitazione dello spostamento lineare per la super- 

 ficie attorno alla quale questa è presa (per la superficie circuitata), si ha come 

 risultato il doppio del valore dello spostamento angolare. Se similmente si divide 

 per la superficie stessa il valore della circuitazione della velocità lineare, si ottiene 

 come risultato il doppio del valore della velocità angolare. E qui importa notare che 

 il risultato della divisione è indipendente dalla grandezza della superficie attorno 

 alla quale vien fatta la circuitazione; esso rimane lo stesso, ed è perciò finito e 

 determinato, anche quando tale superficie si prenda infinitamente piccola. Se il corpo 

 del quale si considera il movimento non si muovesse come un sistema rigido, il 

 quoziente della divisione della circuitazione per la superficie circuitata non sarebbe 

 costante, ma col diminuire della superficie tenderebbe verso un limite finito e deter- 

 minato, il quale avrebbe per una regione infinitamente piccola presa attorno ad un 

 punto del campo un significato analogo a quello che abbiamo spiegato. E ancora più 

 in generale, qualunque sia il vettore considerato, noi potremmo sempre rappresen- 

 tarci nella mente la sua distribuzione per mezzo della finzione che esso sia propor- 

 zionale allo spostamento delle particelle di un fluido riempiente il campo, e così 

 potremmo estendere a tutti i casi l'interpretazione ora esposta. 



27. — Ma anche senza che noi ci dilunghiamo su questa generalizzazione, 

 l'esempio ora trattato è importante per questo, che esso mette in chiaro, in un caso 

 tangibile, la possibilità che il quoziente della circuitazione attorno ad un elemento 

 di superficie piana per l'area di questo elemento tenda, col diminuire di questa, 

 verso un limite finito e determinato, e l'utilità di considerare questo limite. 



Fermiamoci su di esso. In un punto dato m nel campo di un vettore A, distri- 

 buito con continuità nello spazio, immaginiamo un elemento di superficie piana di 

 area dS, la cui normale N abbia una direzione fissa e data; diciamo dK la circui- 

 tazione, infinitamente piccola, del vettore A sul contorno dell'elemento, e poniamo 



(25) C n 



dS ' 



C„ è una quantità scalare, il valore della quale dipende non solo dalla posizione del 

 punto considerato, ma anche dalla direzione, data e costante, della normale N del- 

 l'elemento piano dS, non che dal verso in cui vien fatta la circuitazione sul contorno. 

 Ma si può dimostrare che C n è la projezione sulla normale N di un vettore C, il 

 quale per ogni punto del campo è perfettamente determinato in grandezza ed in 

 direzione. 



