TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 287 



quelle direzioni positive era acuto oppure ottuso. D'altra parte la superficie dell'e- 

 lemento piano OQR projezione dell'elemento PQR è espressa dal prodotto dS. cos (nx) 

 preso col proprio segno o col segno opposto secondo che l'angolo (nx) è acuto od 

 ottuso. Dunque in ogni caso la circuitazione intorno all'elemento piano OQR sarà 

 espressa dal prodotto Ci cos (nx) dS. Similmente, indicando con (ntj), (nz) gli angoli 

 della direzione mN con le direzioni OY, OZ, le circuitazioni intorno agli elementi 

 piani ORP, OPQ risultano espresse dai prodotti 0» cos (ny) dS, C 3 cos (nz) dS. Ora i 

 tre elementi piani OQR, ORP, OPQ formano, presi insieme, una superficie avente 

 per contorno la linea PQR; e quindi, pel teorema [25] la somma delle circuitazioni 

 attorno ad essi deve essere uguale alla circuitazione sul contorno PQR, che è quanto 

 dire alla circuitazione attorno all'elemento PQR. Quindi abbiamo, 



C n dS = Ci cos (nx)dS -j- C 2 cos (ny)dS-\- C z cos (nz)dS 

 donde 



C„ = Ci cos (nx) -f- C 2 cos (ny) -\- C 3 cos (nz). 



Se rappresentiamo con n un vettore-unità nella direzione della normale mN, e 

 con i, j, k i tre vettori fondamentali secondo i tre assi OX, OY, OZ, abbiamo 

 per le (13) 



cos (nx) = ni, cos (ny) = nj, cos (nz) == nk , 

 e quindi possiamo anche scrivere: 



C„ = »i(C I *+ Cei+ C 3 7c); 

 e se rappresentiamo con C il vettore, le cui proiezioni sono Ci, C 2 , C 3 : 



C n = nC. 



Ciò è quanto si voleva dimostrare. Di questo vettore C il tensore C è dato dalla 

 relazione 



(26) V = ]/C! + CI + CI, 



ed il versore fa coi vettori fondamentali %, j, k gli angoli i cui coseni sono : 



/■r>7\ Ci Cj Ci 



VO Te", -g, ~c ■ 



Al vettore C, il quale ha in molte applicazioni, e segnatamente nella trattazione 

 dei fenomeni elettromagnetici, un'importanza grandissima, è utile poter dare un nome. 

 Maxwell aveva proposto (*), benché con qualche esitanza, il nome di rotazione. Tale 

 locuzione si spiega e si presenta come naturale se si pensa alla rappresentazione 

 idrodinamica del campo fatta per mezzo della finzione di un fluido che si sposta; se 



(*) A Treatise on Electricity and Magnetism, Voi. I, Art. 25. 



