TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 289 



Il flusso di C attraverso ad una superficie finita qualunque è adunque uguale 

 alla somma delle circuitazioni di A attorno agli elementi di questa; e se, come sup- 

 poniamo sempre, sulla superficie la distribuzione di A non presenta discontinuità, 

 tale somma è uguale alla circuitazione di A sul contorno della superficie medesima [25]. 

 Quindi la proposizione: l'integrale di un vettore lungo una linea chiusa è uguale all'in- 

 tegrale della sua rotazione su di una superficie qualunque avente tale linea per contorno. 

 Oppure: la circuitazione dì un vettore presa sul contorno di una superficie è uguale al 

 flusso attraverso a questa superficie della rotazione del vettore medesimo. . 



A questa proposizione, che spesso dovremo ricordare, daremo il nome di: teorema 

 della circuitazione- 

 Se si rappresenta con ds un elemento della linea chiusa s e lo si tratta come un vettore, 

 se poi si rappresenta con dS un elemento della superficie contornata da s e con n un vettore- 

 unità normale a dS, la proposizione ora enunciata si tradiice nell'uguaglianza 



(29) \ tot A. ndS=\ 



•> s J -i 



Ads. 



Se si considera una seconda superficie limitata dal medesimo contorno, il flusso 

 del vettore C attraverso a questa è ancora uguale alla circuitazione di A sul con- 

 torno; esso perciò è uguale al flusso di C attraverso alla prima superficie. Il flusso 

 di C ha dunque un medesimo valore attraverso a tutte le superficie aventi un con- 

 torno comune. 



Due qualunque di queste superficie, prese insieme, costituiscono una superficie 

 chiusa; e dei flussi che le attraversano uno entra nello spazio limitato da questa e 

 l'altro esce dallo spazio medesimo. Se si considerano come 

 flussi uscenti, uno di questi flussi è negativo mentre l'altro 

 è positivo; la loro somma algebrica è perciò uguale a zero. 

 Data nel campo una superficie chiusa qualunque S (fig. 23), 

 si può sempre immaginare tracciata su di essa una linea 

 chiusa AB, che la divida in due parti M,N aventi la linea AB 

 stessa per contorno comune. I flussi uscenti da S attra- 

 verso a queste due parti sono uguali e di segni contrarii e 

 danno una somma uguale a zero. Dunque il flusso del vet- 

 tore C uscente da una superficie chiusa qualunque è sempre 

 uguale a zero : la distribuzione del vettore C è solenoidale. 



Questa proposizione importante si traduce nella formola: 



div C = , oppure : div rot A = 0. 



Le linee di flusso del vettore C si possono convenientemente denominare: linee 

 vorticali. La rappresentazione idrodinamica del campo, la quale giustifica il nome di 

 rotazione dato a C, suggerisce e giustifica anche quest'altra denominazione. Così pure 

 i tubi di flusso del vettore C si possono denominare tubi vorticali, o semplicemente 

 vorticoidi. Se infinitamente sottili, essi si dicono anche filetti vorticali. 



Dal fatto che la distribuzione della rotazione è solenoidale consegue [20] che il 

 flusso di C lungo un tubo vorticale è costante. Quindi nell'interno di una regione 



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