TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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Quindi dividendo per l'area dy dz dell'elemento superficiale: 



dA 3 



(30) 



C* 



ày 



ÒA 2 

 dz " 



In modo analogo si trovano le componenti C 2 , C, ; i valori a cui si arriva sono quelli che 

 si ricavano da quello di C, per mezzo di una permutazione circolare degli indici 1, 2, 3, e 

 delle lettere x, y, z, sono cioè: 



n àA t ÒA 3 



(30') 

















(30") 

















Avuti 



c„ 



C 2 , 



C3! 



si 



ha 







(31) 

















ossia 

















(32) 





rot A 



= 



C 



= i 



( 



0^3 



ossia 



ancora 





• 









òz 



ÒA 2 

 dx 



dx 

 òAi 



C=iC l +jC t + kC i 



ÒA, 



òAi 



òA 3 



(32') 



rot ^4= C = 



J \ dz 



dx 



i j 



h 



d ò 



d 



dx dy 



dz 



A L A 2 



^3 



Ti 



ÒA« 



dA t 

 dy 



Confrontando la (32) o la (32') colla (18) o colla (18') (art. 11), si vede che se si scrive, 

 come nell'art. 18 , 



. d , . d , , ò 

 dx J dy 



dz 



e se, trattando V come un vettore, si fa il vettorprodotto V VA , si trovano appunto espres- 

 sioni identiche ai secondi membri delle (32), (32'). Si può adunque scrivere simbolicamente 



(32") rot^=yv^. 



Se si ricorda la formola (21") dell'art. 18, ossia la 



div A = VA , 



si può riassumere dicendo che l'operatore vettoriale V, applicato ad un vettore A come mol- 

 tiplicatore in un prodotto scalare, dà la divergenza di A; ed applicato come moltiplicatore in 

 un prodotto vettoriale dà la rotazione di A. Le due operazioni importantissime div e rot si 

 possono così fare per mezzo di un medesimo operatore V (*). 

 Dai valori (30), (30'), (30") di C, , C ì , C 3 si ricava subito: 



(33) 



dC, , dC^ , dC^ _ Q 

 dx dy dz 



(*) L'operatore vettoriale v fu introdotto da Hamilton. Nel metodo dei Quaternioni di Hamilton 

 l'eleganza, che l'impiego dell'operatore V conferisce alla analisi vettoriale, risulta anche maggiore 

 perchè in tale metodo le grandezze che noi denominiamo prodotto scalare e vettorprodotto figurano, 

 a meno del segno, come le due parti di un unico ente, che è il quaternione prodotto di due vettori. 



