292 GALILEO FERRARIS 



ossia [18j 



vo=o, 



che è la condizione della distribuzione solenoidale. 



Se si dicono l, m, n i coseni degli angoli della normale n alla superficie S coi tre assi 

 delle coordinate e si rappresenta con ds il tensore di ds, elemento della linea contorno di S, 

 l'equazione (29) compendiante il teorema della circuitazione si scrive: 



(34) \\ilO, + mC t + nC s )dS = ^A, -|f- + A 2 ^- + A 



3 ds 



ds. 



Questa equazione, nella quale C t , (7 2 , C 3 hanno i valori (30), (30'), (30"), mostra come 

 l'integrale di un vettore A lungo una linea chiusa si possa esprimere per mezzo di un integrale 

 su di una superficie avente tale linea per contorno. Essa è stata data dal prof. Siokes nel 1854. 



§ 4. 



Integrale lungo una linea aperta. Potenziale. 



30. — Nel campo del vettore A consideriamo due punti P e Q (fig. 25). Im- 

 maginiamo poi due linee qualunque PJQ, PjQ, le quali partano entrambe da P e 



terminino in Q; e rappresentiamo con J e con j i valori 

 dell'integrale del vettore A preso da P verso Q rispetti- 

 vamente sull'una e sull'altra linea. 



Le due linee, prese insieme, formano una linea chiusa, 

 sulla quale la circuitazione, presa nel verso PJQjP, è 

 J — j. Se, come sempre, supponiamo che la regione consi- 

 Fig. 25. derata sia aciclica, o che sia stata resa tale per mezzo di 



opportune sezioni [12], sussiste il teorema della circuita- 

 zione [28]. In virtù di questo teorema la circuitazione J — j è uguale al flusso della 

 rotazione C passante dentro al contorno PJQjP, o, come possiamo anche dire, al numero 

 delle linee vorticali concatenate col contorno medesimo. Se diciamo U questo numero, 

 o questo flusso, se cioè rappresentiamo con U l'integrale §C n dS esteso a tutta una 

 superficie contornata dalla linea PJQjP, abbiamo 



(35) J-j=U. 



Ora qui importa distinguere tre casi: e per ciò distingueremo le regioni nelle 

 quali C e uguale a zero da quelle in cui C non è nullo dovunque, dicendo che nelle 

 prime la distribuzione del vettore A è non circuitale e nelle seconde è circuitale (*). 



Primo caso: La rotazione C è nulla in tutti i punti della regione considerata: 

 ossia la distribuzione del vettore A nella regione considerata è non circuitale. 



(*) La locuzione : circuitale è stata introdotta da W. Thomson (Mathematical and physical papers, 

 Voi. Ili, pag. 451) ed è adoperata da Heaviside. 



