TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 



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Ih questo caso, qualunque sieno le linee PJQ, PjQ, è sempre [/"=0; quindi 

 sempre J=j. L'integrale del vettore A preso da P a Q ha un medesimo valore su 

 tutte le linee congiungenti questi due punti; esso non dipende dalla scelta della linea 

 su cui è calcolato, dipende unicamente dalla posizione dei punti P e Q, nei quali la 

 linea principia e termina. 



Scegliamo nel campo, ad arbitrio, un punto (fig. 26) ; mediante una linea qua- 

 lunque MO congiungiamo con esso un altro punto M, e rappresentiamo con V l'in- 

 tegrale preso da M verso lungo questa 

 linea. Il valore di V non dipende dalla 

 forma della linea, ma dipende solo dalla 

 posizione di e di M, e se il punto è 

 ritenuto fisso, dipende solo dalla posizione 

 di M: il valore di V è una funzione di 

 quelle sole variabili colle quali viene de- 

 finita la posizione del punto M. Sieno V p 

 e V q i valori di V nei punti P e Q; l'in- 

 tegrale J, preso da P verso Q lungo una 

 linea PMQ qualunque congiungente P con Q, 

 si può esprimere per mezzo di questi due 



valori. Infatti l'integrale lungo la linea PMQ è uguale a quello preso su qualunque 

 altra linea partente da P e terminante in Q; è uguale perciò a quello preso lungo 

 la linea POQ. Ora l'integrale su PO vale V p , e quello su OQ vale — V v dunque 



Fig. 26. 



(36) 



J=V„ 



v a 



l'integrale J del vettore A, preso da P a Q lungo una linea qualunque congiungente 

 questi punti, è uguale alla differenza tra i valori in P ed in Q della funzione V. 



La grandezza scalare V, funzione delle variabili che definiscono la posizione di 

 un punto M, dicesi potenziale del vettore A in tale punto. 



Dato il valore V p del potenziale in un punto P, si ha quello nel punto Q dalla 

 relazione V q = V p — J. Se il punto Q coincide con P, se cioè la linea PMQ è chiusa, 

 J rappresenta la circuitazione su tale linea, ed è perciò uguale a zero. Quindi allora 

 V q = V p . Possiamo esprimere questo fatto dicendo che se, partendo da un punto P 

 qualunque del campo e percorrendo una linea chiusa qualunque, si ritorna al punto 

 stesso, si ritrova al ritorno lo stesso valore del potenziale che si aveva alla partenza. 

 In altri termini : il potenziale V ha per ogni singolo punto del campo un unico valore ; 

 esso è una funzione monodroma delle coordinate. 



Qui però importa notare che il valore della funzione V dipende dalla scelta arbi- 

 traria del punto 0. Se invece del punto si scegliesse un altro punto 0', il potenziale 

 in un punto qualunque M risulterebbe aumentato o diminuito di una quantità uguale 

 all'integrale del vettore A lungo una linea 00'; risulterebbe cioè accresciuto o dimi- 

 nuito di una costante dipendente dalla scelta arbitraria di 0'. Perciò il potenziale V 

 contiene una costante arbitraria. E questa una conseguenza dell'essere il potenziale 

 definito da un integrale. 



31. — Secondo caso: Esìstono nel campo alcune, e soltanto alcune, regioni, ove la 

 rotazione C è diversa da zero: nelle quali cioè la distribuzione del vettore A è circuitale. 



