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GALILEO FERRARIS 



In questo caso può accadere che la linea chiusa PJQjP dell'art, preced. non 

 sia concatenata con alcuna linea vorticale, oppure che lo sia. Supponiamo, per esempio, 

 che il toro CC (fig. 27) rappresenti un tubo vorticale e che fuori di esso non 

 esistano altre linee vorticali; può accadere che le due linee condotte da P a Q 

 passino tutte due fuori dell'anello, come le J, j, o tutte due dentro dell'anello, come 



le J, f, nei quali casi la linea chiusa da esse 

 formata non è concatenata coll'anello; oppure 

 può accadere che delle due linee l' una passi 

 fuori dell'anello, come la J, e l'altra passi 

 dentro, come la J , nel qual caso esse formano 

 una linea chiusa PJQJP concatenata coll'anello 

 medesimo. Possiamo anche distinguere i due casi 

 dicendo che nel primo una delle due linee si 

 può far venire a coincidere coll'altra per mezzo 

 di uno spostamento e di una deformazione gra- 

 duale, senza che per questo essa debba tagliare 

 il tubo vorticale , mentre nel secondo ciò non 

 sarebbe possibile. 



Supponiamo dapprima che si verifichi la 

 prima ipotesi, che cioè le due linee condotte 

 da P a Q sieno le J,j, oppure J',j', così che esse non formino una linea chiusa con- 

 catenata col tubo vorticale. Allora abbiamo ancora, come dianzi, U = 0, e quindi 

 J— ;7 l'integrale da P a Q è ancora indipendente dalla linea percorsa. Se diciamo J 

 il valore dell'integrale per tutte le linee che vanno da P a Q passando all'esterno 

 dell'anello vorticale, come le PJQ, PjQ, possiamo ancora, come dianzi, scrivere 



Fig. 27. 



(36) 



J— V„ 



r. 



E similmente, se diciamo J' il valore dell' integrale preso su una linea qualunque 

 che vada da P a Q passando dentro dell'anello, come la PJQ o la PfQ, possiamo 

 scrivere 



(36') 



J'=V P - 



V' 



Ma supponiamo ora che si verifichi la seconda ipotesi, che cioè delle due linee 

 condotte da P a Q una sia la PJQ passante fuori dell'anello vorticale e l'altra sia 

 la PJ'Q passante dentro dell'anello, così che, prese insieme, esse formino una linea 

 chiusa concatenata coll'anello medesimo. Se allora diciamo U il flusso della rotazione 

 C esistente nel tubo vorticale, ossia il numero delle linee vorticali concatenate colla 

 linea chiusa PJQJP, abbiamo per la (35): 



(35') 



J — J= V. 



L'integrale lungo la linea PJQ è diverso da quello lungo la linea PJQ, e la diffe- 

 renza fra i due è U. 



Portando nella (35') i valori (36) e (36') abbiamo 



V\ = V. 



