TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 295 



Possiamo adunque riassumere dicendo: anche nel caso che stiamo considerando 

 vi ha un potenziale V funzione delle coordinate; ma per un medesimo punto, per 

 esempio pel punto Q, questo ha più valori dipendenti dal cammino seguito per ar- 

 rivare al punto stesso. 



Se, come caso particolare, supponiamo che il punto Q, che è un punto qualunque, 

 coincida col punto di partenza P, abbiamo V q = V p e V' q = V p — U. In altri ter- 

 mini: se, partendo da un punto qualunque P, si percorre nel campo una linea chiusa 

 e si ritorna in P, si ritrova in P all'arrivo il medesimo valore del potenziale che 

 vi si aveva alla partenza quando la linea chiusa percorsa non è concatenata con 

 linee vorticali ; ma si trova invece un valore diverso quando la linea chiusa percorsa 

 è concatenata con linee vorticali, come la PJ"P. La differenza tra il valore del po- 

 tenziale che si aveva in P alla partenza e quello che si trova al ritorno è uguale 

 ad TI, ossia al numero delle linee vorticali concatenate colla linea chiusa percorsa. 

 Se, come si è supposto, si percorre la linea chiusa PJ"P in quel verso che è se- 

 gnato nella figura, il valore finale del potenziale in P è aguale al valore iniziale 

 meno U; se si percorre quella linea chiusa in senso inverso ; il valore finale sarebbe 

 uguale all'iniziale più U. Se sulla medesima linea PJ"P o su altre linee qualunque 

 partenti da P e terminanti in P si facessero non uno solo, ma N giri attorno al tubo 

 vorticale C, si troverebbe tra il potenziale di arrivo e quello di partenza una dif- 

 ferenza uguale a + NTJ. Detta adunque V una funzione delle coordinate di P, il 

 potenziale V in un punto P qualunque del campo si può esprimere con 



(37) V=-V 9 ±NU: 



il potenziale è una funzione polidrotna, ed U è la costante ciclica. 



Se per mezzo di una acconcia superficie escludiamo dal campo i tubi vorticali 

 e ci limitiamo a considerare la parte di campo che rimane, noi rientriamo nel primo 



Fig. 28. 



caso già trattato all'articolo precedente [30]. Ma per applicare le conclusioni allora 

 trovate dobbiamo osservare che la parte di campo che ora siamo condotti a consi- 

 derare è ciclica, e che dobbiamo ridurla ad essere aciclica per mezzo di qualche ac- 

 concia sezione. Per fissare le idee riferiamoci ancora all' esempio precedente, nel 

 quale le linee vorticali sono tutte contenute dentro ad un toro, e per rendere più 

 chiara la figura rappresentiamo non più una prospettiva come dianzi, ma una sezione 

 del toro: per esempio supponiamo che il piano della fig. 28 determini nel toro le 



