296 GALILEO FERRARIS 



due sezioni C, C. Per rendere aciclico il campo, dobbiamo allora chiudere il toro 

 medesimo con una superficie ab in modo che non si possa condurre più alcuna linea 

 come PJ'Q passante dentro di esso ; [oppure, se vogliamo poter passare in PJ'Q, 

 dobbiamo tagliare lo spazio esterno con una superficie a'a", b'b", la quale impedisca 

 di passare da P a Q con una linea come la PJQ. Soltanto dopo di avere in questo 

 modo reso aciclico il campo si può dire che esiste un potenziale V avente per ogni 

 punto un unico valore. 



32. — Terzo caso: In ogni punto del campo la rotazione C è diversa da zero: 

 ossia in tutto il campo la distribuzione del vettore A è circuitale. 



In questo caso la linea PJQjP (fig. 25) è sempre concatenata con linee vorti- 

 cali ; e quindi l'integrale J è sempre diverso da /, qualunque sieno le due linee PJQ, 

 PjQ. Se si fa variare per spostamenti graduali infinitamente piccoli la linea sulla 

 quale si fa l'integrazione, il valore J dell'integrale preso da Pfino a Q subisce an- 

 ch'esso variazioni infinitamente piccole. Dati i punti P e Q, l'integrale non ha più 

 ne un valore determinato né una serie di valori equidifferenti, ma può avere infiniti 

 valori succedentisi con continuità. In questo caso l'integrale non è determinato se 

 non è completamente data la linea d' integrazione ; non vi ha dunque più luogo a 

 parlare di potenziale. 



Osservazione. La condizione rot A — si traduce [29] nelle tre equazioni 



dA 3 _ ÒA 2 _ òAi dA 3 _^ dA 3 _ dAj __ Q 



dy dz ' dz dx ' dx dy 



Ora sono appunto queste, espresse nella forma solita, le condizioni necessarie acciocché il trinomio 



A l dx -f- A 2 dy -\- A 3 dz 



sia il differenziale totale esatto di una funzione di x, y, z. 



33. — Supponiamo che in una regione dello spazio sian definiti più vettori A', 

 A", ... Detto ds un elemento di una linea MO (fig. 26) si ha [23], 



f (A' + A" + ...) ds = l A'ds+\ A"ds + ... 



J MO JMO J MO 



Se in quella regione sono nulle le rotazioni di A', A",..., per la proposizione (28) 

 è pure nulla la rotazione di A' -\- A'' -\- ... Tenendo fisso il punto e lasciando va- 

 riare il punto M gì' integrali scritti definiscono [30] il potenziale in M del vettore 

 A' -\- A" -j- .., e dei vettori A', A",... Dunque: il potenziale di una somma di vet- 

 tori è uguale alla somma dei potenziali dei singoli vettori. 



34. — Il potenziale è una grandezza scalare, il cui valore in ogni punto è de- 

 terminato, a meno di una costante arbitraria, quando è data la distribuzione del vet- 



