TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 297 



tore. Viceversa, dato il potenziale in funzione delle coordinate, il vettore risulta 

 anch'esso determinato in ogni punto. 



Per chiarire questa cosa, consideriamo, invece della linea di lunghezza finita 

 PQ trattata negli articoli precedenti, un semplice elemento pq 

 (fig. 29) ; prendiamo pq come direzione positiva, definendola, se 

 vogliamo, con un vettore-unità s, e rappresentiamo la lun- 

 ghezza pq dell'elemento con ds. Invece dell'integrale J dianzi 

 considerato [30] abbiamo ora un semplice elemento; e se rap- 

 presentiamo con A, la proiezione del vettore A su s, ossia il 

 prodotto scalare As, questo elemento è 



A s ds. 



Se , d' altra parte , colla notazione solita del calcolo differenziale rappresentiamo 



con -r— il limite del rapporto — quando, tenendo fissa la direzione data s, si 



òs rr pq ^ ' 



fa diminure pq fino a zero, possiamo scrivere V p — V q = — -^— ds. Con ciò l'equa- 

 zione (36), che è la definizione del potenziale, si riduce nel caso ora considerato a 



A.ds = — -5— ds. 



OS 



Quindi : 



(38) A, = - -|f . 



Supponiamo che il vettore-unità s coincida successivamente coi tre vettori fon- 

 damentali i, j, Jc, e poniamo, per conseguenza, successivamente dx, dy, dz al posto 

 di ds. Otteniamo così le tre componenti A lf A 2 , A 3 di A; esse sono: 



( 39 ) A = — -5^-, A 2 = — -^-, A 3 = — -^. 

 Così abbiamo: 



Se, come già altre volte, poniamo simbolicamente 



e trattiamo questo simbolo V come quello di un vettore, possiamo scrivere la (40) 

 anche così: 



(40') A = — W. 



Non è inutile riassumere qui gli effetti dell'operatore V. Applicato ad una quantità sca- 

 lare V, funzione delle coordinate, esso dà, come or ora abbiamo veduto, a meno del segno, il 

 vettore A, di cui V è il potenziale; applicato ad un vettore A alla maniera di un moltiplica- 

 tore in un prodotto scalare, dà la àiv A [18]; applicato al medesimo vettore alla maniera di 

 un moltiplicatore in un vettorprodotto dà la rot A [29]. 



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