TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 301 



38. Distribuzioni non circuitali. — Sia dato un campo, nel quale si sappia che 

 (7 = in ogni punto, un campo a distribuzione non circuitale; e per ogni punto di 

 esso sia data la divergenza ò. Il vettore A deve allora sodisfare alle equazioni dif- 

 ferenziali 



(46) div A = ò , rot A = , 



ove ò è una data funzione delle coordinate. Noi vogliamo considerare alcune solu- 

 zioni di queste equazioni. A tale uopo comincieremo a supporre che il punto P, pel 

 quale si vuole conoscere A, si trovi in una regione 

 ove sia 5 = 0, comincieremo cioè a supporre che 

 sia ò = per tutto lo spazio all' interno di una 

 certa superficie S (fig. 30) circondante il punto P. 

 Ci sarà facile, in seguito, eliminare questa re- 

 strizione. 



Immaginiamo il campo diviso in elementi di 

 volume, e diciamo v il volume di uno di questi. 

 Per definire poi la posizione del punto P rispetto 

 a questo elemento, consideriamo come vettore il 

 segmento di retta mP che congiunge un punto m Yi". 30. 



dell'elemento al punto P; rappresentiamo con r il 



tensore di questo vettore, ossia la distanza mP, e con r il versore , ossia un vet- 

 tore unità preso nella direzione mP. 



Diciamo ò il valore dato della divergenza del vettore A nel punto m, e, prima 

 di considerare la distribuzione data, immaginiamo una distribuzione nella quale la 

 rotazione sia nulla, e la divergenza abbia il valore dato b soltanto nell'interno del- 

 l'elemento v mentre fuori di questo essa è da pertutto uguale a zero. Se mai tro- 

 veremo un vettore A' pel quale la divergenza abbia una tale distribuzione, se la 

 stessa cosa faremo per tutti gli altri elementi di volume, e se sommeremo tutti i 

 vettori A' che avremo trovati, avremo nella somma, in grazia della osservazione 

 fatta all'art, precedente [37], un vettore A il quale sodisfa alle equazioni (46) in 

 tutto il campo. 



Ora, tra i vettori A' che sodisfanno alla condizione rot A' = vi hanno tutti quelli 

 aventi la direzione v ed un tensore funzione della sola distanza r. Infatti se A' ha 

 una rotazione C, questa si può scomporre in tre C t , C 2 , C 3 , la prima parallela e 

 le altre due perpendicolari ad r. La grandezza di C x si calcola dividendo la circui- 

 tazione attorno ad un elemento superficiale dS y perpendicolare ad r per l'area del- 

 l'elemento medesimo. Ma se il vettore A' ha la direzione r, esso in ogni punto del 

 contorno di dS t è normale al contorno stesso; quindi la circuitazione è nulla, e con 

 essa è nulla C t . La componente C 2 si può calcolare per mezzo della circuitazione 

 attorno ad un elemento superficiale piano contornato da due porzioncelle uguali dr, 

 dr' di due raggi vettori r, r' infinitamente vicini l'uno all'altro e da due archi infi- 

 nitamente piccoli di due cerchi di centro ni e di raggi r ed r-f dr. Ma se il vettore 

 A' ha la direzione r, le porzioni della circuitazione corrispondenti ai due archi di 

 cerchio sono nulle; e se A' è inoltre funzione della sola r, le porzioni della circui- 

 tazione corrispondenti ai due lati radiali uguali dr, dr' sono uguali e di segni con- 



