302 GALILEO FERRARIS 



trari. Quindi anche C 2 è nulla. Similmente si dimostra che è nulla C 3 . Noi avremo 

 adunque uno dei valori possibili di A' se porremo 



(47) A' = rA', 



e se determineremo il tensore A' funzione di r in modo che la divergenza abbia un 

 valore uguale a ò dentro di v ed a zero fuori di v. 



A quest'uopo basta osservare che l'integrale di divA'.dv esteso allo spazio 

 limitato da una superficie chiusa circondante l'elemento di volume v si ridurrà qui a 

 dò; e che quindi, pel teorema della divergenza (23), qualunque sia la superficie 

 chiusa considerata, purché essa circondi v, l'integrale del vettore A' preso su di 

 essa sarà sempre uguale a vb. Applicando questa proposizione ad una superficie sferica 

 di centro m e di raggio r, e ricordando che A' è normale a questa superficie e che 

 A' ha uno stesso valore per tutti i punti di essa, si ha: 



(48) in^A' = vb, e quindi J.' = - * 



4 U >-' 2 ' 



Ponendo 



(49) -^ = p e vp = m, 

 il valore di A' si scrive più semplicemente così: 



(50) A' = -^- , oppure A' = -J- ; 

 e portando questo valore nella (47) si ottiene 



(51) ^' = »• -J-; 



Ciò che abbiamo fatto per l'elemento di volume v facciamo ora per tutti gli 

 altri elementi di volume: consideriamo tante distribuzioni in ciascuna delle quali la 

 divergenza b abbia il valore dato solamente dentro all'elemento e sia nulla in tutto 

 il rimanente spazio; per ciascuna di tali distribuzioni determiniamo pel punto P il 

 vettore A' colla formola (51). La somma dei vettori A' sodisfa alle equazioni (46): 

 essa è un vettore la cui divergenza ha in ogni punto del campo il valore voluto e 

 la cui rotazione è nulla in tutto lo spazio. Se diciamo A la somma dei vettori A', 

 la soluzione trovata si scrive 



(52) A = I v 



m 



e questa formola si traduce nel seguente enunciato: Il vettore A è il risultante di 

 tanti vettori quanti sono gli elementi di volume, nei quali la divergenza è diversa 

 da zero; ciascuno di questi vettori ha la direzione r della retta che congiunge il 

 corrispondente elemento di volume al punto P considerato ed ha un valore inversa- 

 mente proporzionale al quadrato della distanza del punto P dall'elemento di volume. 

 Il potenziale si trova facilmente. A tal fine consideriamo ancora dapprima 

 un solo elemento di volume v situato in m ed il corrispondente vettore A' nel punto 

 P alla distanza r da m. Siccome le superficie equipotenziali sono normali al vettore, 



