TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 303 



così la superficie equipotenziale passante per P è la superficie sferica di centro m 

 e di raggio r, ed il potenziale V del vettore A' è funzione della sola variabile r. 

 Per determinare questa funzione abbiamo l' equazione (44) nella quale dobbiamo 

 scrivere A' in luogo di A, V in luogo di V, ed r in luogo di n. Abbiamo così: 



A' = — - — ; e quindi, ricordando che A' = ^-: 



dV _ _m_ 



dr _ r" • 



Di qui ricaviamo, rappresentando con cost. una costante arbitraria: 

 (53) V = — + cost. 



Nel medesimo modo si calcolano i potenziali dovuti a tutti gli altri elementi 

 di volume. Il potenziale V dovuto alla distribuzione data è la somma di tutti i V ; 

 si ha quindi 



(54) V = Z -2- + cost. 



Se la divergenza ò è distribuita con continuità nello spazio, si ha da scrivere 

 in luogo di una somma un integrale ; si ha allora: 



(54') F=p^- + cort., 



e l'integrazione si deve estendere a tutte le parti dello spazio nelle quali p è diverso 

 da zero. 



Il potenziale V così determinato ha per ogni punto del campo un valore unico ; 

 esso è una funzione monodroma delle coordinate. Ciò noi sapevamo in precedenza, 

 poiché avevamo già veduto che la rot A è nulla in tutto il campo. 



In tutto ciò che precede abbiamo supposto che dentro ad una superfìcie chiusa 

 S di dimensioni finite circondante il punto P fosse ò = 0. Se ciò non è, bisogna ag- 

 giungere ai valori (52) e (54) o (54') trovati per A e per V un termine, che pos- 

 siamo rappresentare rispettivamente con A e con V , dovuto alla parte del campo 

 contenuto dentro della superficie S. Ma se la divergenza ò non è infinita in nessun 

 punto della regione limitata dalla superficie S, è facile vedere che A a e V conver- 

 gono verso~ zero quando la superficie S si riduce infinitamente piccola. Per dimostrare 

 ciò, cominciamo ad osservare che anche facendo la superficie S infinitamente piccola, 

 noi possiamo pur sempre immaginare che il volume da essa limitato sia scomposto 

 in elementi, le dimensioni dei quali sieno infinitamente piccole a fronte delle di- 

 stanze degli elementi stessi dal punto P: questa osservazione ci permette di far ser- 

 vire le espressioni or ora trovate per A e per V anche per calcolare A e V . 



Ciò posto consideriamo A . Questo vettore è il risultante 2! r — j di tanti vettori 



v — j- , che in generale non sono paralleli. Evidentemente il suo tensore A è minore 



della somma dei tensori dei vettori componenti; quindi se col segno Z si indica una 

 somma estesa a tutto l'interno della superficie S, si ha 



A < * -3-. 



