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GALILEO FERRARIS 



Se immaginiamo dentro ad S una distribuzione continua e poniamo m = pdv, questa 



f s>dv 



disuguaglianza si scrive 



A < 



Se con pò si rappresenta il massimo valore assoluto di p dentro alla superficie S, si 

 ha ancora con maggior ragione 



A < Pi 



1 



Ora possiamo supporre che S, la quale può essere una superficie qualunque, sia una 

 superficie sferica di centro P e di raggio a ; e come elemento di volume dv pos- 

 siamo prendere il volume compreso tra due superficie sferiche descritte col centro 

 in P e coi raggi r ed r -f- dr. Per tal modo abbiamo 



dv = 4 nr*dr, onde: — j- = 4 tt dr = 4 tt a , 



e quindi 



A < 4 tt p a. 



Ora, se si fa infinitamente piccolo il raggio a della sfera S, p tende verso il valore 

 di p in P, che è finito in causa della (49) perchè si è supposto che ò sia finita. 

 Dunque, per la relazione precedente, anche A si riduce infinitamente piccolo; e se 

 la sfera si restringe fino a ridursi al punto P, A a si annulla. 



La stessa cosa si può affermare, ed anche con maggior ragione, per V Q . Infatti 

 se si suppone ancora che S sia una superficie sferica di centro P e di raggio a, se 

 si scompone ancora questa sfera in elementi per mezzo di superficie sferiche con- 

 centriche e se si indica ancora con p il massimo valore assoluto di p dentro la sfera, 

 il valore assoluto di V a è minore di 



f dv C a 



I , ossia di Po 4 tt rdr, ossia di 2 7tp a 2 



Po 



e perciò esso si annulla con a. 



Dopo questa osservazione noi siamo autorizzati ad adoperare le espressioni (52), 

 (54), (54') anche quando il punto P considerato si trova in una regione ove ò è di- 

 verso da zero : quelle forinole sono generali. Esse costituiscono una soluzione parti- 

 colare delle equazioni differenziali (46). 



Se in una regione dello spazio la distribuzione del vettore è solenoidale, cioè 

 nelle (46) si ha b = 0, sarà in quella regione 



m = , p = 0. 



In ogni caso dalla soluzione particolare delle (46) che è fornita dalle formole 

 (52), (54), (54'), si hanno altre soluzioni delle (46) sommando col vettore A da esse 

 dato un altro vettore qualunque avente una distribuzione solenoidale (e non circuitale). 



Con l'introduzione del nuovo simbolo p definito dalla (49) 



4it 



p l'equazione (41) o (41') 



diventa, riferendosi tanto p quanto il potenziale Ve le xyz ad uno stesso punto dello spazio 



(55) 



V 2 V — — 4 tt p 



