TEORIA GEOMETRICA DEI CAMPI VETTORIALI 305 



ossia 



(equazione di Poisson). 



39. — Nel precedente articolo abbiamo supposto che fosse data la divergenza 

 ò in ogni punto del campo e che esistessero delle distribuzioni non circuitali cor- 

 rispondenti; ed abbiamo trovato che una distribuzione non circuitale che dà luogo 

 alla data distribuzione di ò si ha col porre 



(52) A — I r 



m 



~7~ 



ove m = pv = -t— ■ È facile dimostrare la proposizione reciproca, dimostrare che se 



il vettore ha in ogni punto un valore esprimibile nella forma (52), se cioè A è il 

 risultante di tanti vettori A', dei quali le direzioni sono quelle r delle rette con- 

 giungenti col punto considerato P altrettanti punti m determinati, e le grandezze 

 sono inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze r del punto P dai punti 

 medesimi, il flusso del vettore A uscente da una superficie chiusa qualunque dipende 

 soltanto dalla somma Tm estesa ai soli punti situati all' interno della superfìcie 

 medesima, ed è uguale a inTm; donde poi si trarrà che la divergenza di A è 

 uguale a ò. 



A quest'uopo cominciamo a considerare il caso in cui i punti m si riducono ad 

 un solo (fig. 31), supponiamo data una o,- 



superficie SS e consideriamo su questa \^ / " 



un elemento PQ di area dS; diciamo r n. / 



la distanza mP di questo elemento dal \p/o *-/V 



punto m, A il vettore PA' in P, e 6 l'an- '•£_--—- c -~"' — <\ 



golo della retta mPA' con la normale m - — ■ — " ^ • m~\ 



positiva PN alla superficie. Il flusso di A' \ 



attraverso all'elemento PQ è A'cosQdS, s 



ossia essendo A'=—r: Fl S- 31 - 



cos e d s 



m 



r' 



Ora immaginiamo col vertice in m un cono mPQ circoscritto all'elemento superfi- 

 ciale PQ e diciamo duu la superficie della sezione fh fatta in questo cono per mezzo 

 di una superficie sferica di centro m e di raggio uguale ad uno; dvj è ciò che si 

 denomina angolo solido del cono mPQ od anche superficie apparente dell'elemento PQ 

 visto dal punto m. Se col centro in m e con raggio mP=r descriviamo una super- 

 ficie sferica, questa determina nel cono una sezione PM di area r*dui. Ma PM si 

 può anche considerare come la proiezione di PQ, ossia di dS, sul piano normale in P 

 a Pm, e quindi la sua superficie vale anche cos 8 dS; dunque abbiamo r 2 dw =cosQ dS, 



e quindi 5 — = dui. Se portiamo questo valore nella espressione del flusso attra- 

 verso a PQ, questa si riduce a 



mdw. 

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